חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[אריאל וו]

אחלה דוגמא.
ולכן אולי בטווח הרחב באלף מקרים כאלו מי שיפתח את הדלת השניה אולי יזכה (ואולי לא, לא נכנס לזה)
אבל עכשיו זה בדיוק כמו אחרי הטלת המטבע בפעם הראשונה שכעת הסיכויים שווים בדיוק באיזה צד הוא יפול

טוב שאתה מתעקש על מה שנראה לך נכון, אבל למעשה אתה טועה פה!
תחשוב על מקרה של 1000 דלתות. אתה בוחר דלת אחת, והמנחה פותח 998 מהדלתות האחרות (לא באקראי, אלא בגלל שהוא יודע שהמכונית לא שם). הסיכוי שהמכונית מאחורי הדלת שלך היא 1/1000. הסיכוי שהמכונית בדלת השנייה היא 999/1000 -- כמעט וודאות מוחלטת!
כמובן שמי שנכנס עכשיו לסיפור ולא יודע את האינפרומציה שיש לך, מבחינתו יש סיכוי של 50%, אבל לא מבחינתך.
למעשה, במקרה הזה, יש 3 הסתברויות שונות:
(1) אצל המנחה, יש 100% הסתברות שהוא יבחר את הדלת הנכונה, כי הוא יודע איפה המכונית.
(2) אצלך, יש הסתברות של 99.9% שתבחר את הדלת הנכונה (דהיינו, לא הדלת שבחרת בהתחלה, אלא השניה שנשארה).
(3) ולגבי החבר שעכשיו נכנס לסיפור, יש רק 50% סיכוי שהוא יבחר את הדלת הנכונה...

 

[אריאל וו]

כדי לסבר את האוזן, בא נקצין עוד יותר.
יש 50 מיליון דלתות.
אתה בוחר אחת מהן. כמעט בוודאות מוחלטת בחרת עז.
המכונית נמצאת מאוחרי אחת משאר הדלתות, כמעט בוודאות מוחלטת.
עכשיו בא המנחה, ומסלק 49,999,998 מהמשחק שכולם יש מאחוריהן עז, לא כולל הדלת שלך, שהוא לא התייחס אליה.
אז או שבפוקס ענק וכמעט בלתי אפשרי אתה בחרת את הדלת הנכונה מתוך 50,000,000 דלתות, או שהעז מאחורי הדלת השנייה!
כמובן שאתה חייב להחליף את הבחירה שלך.

 

[זיתים]

עוקבת אחרי האשכול, מעניין לראות את התפיסה של כל אחד מהזוית שלו..
בכל אופן החידה הזאת היא חידה ידועה שנידונה כבר רבות, ולא נותרה ברירה אלא להסכים אם הפתרון המפורסם שלה
זכור לי גם שהיא מוכחת בצורה הסתברותית שלזה וודאי אין אפשרות להתנגד, גם אם בפעמים בודדות זה לא יקרה
וכמו שכתבו כאן אם יבנו איזשהיא תוכנית שתבדוק את זה מספר רב של פעמים, זה בקירוב יתברר כנכון..

 

[מרשימה]

התרשים המובא כאן לא נכון, כי לפי התרשים יש אופציה לפתיחת 3 דלתות.
אבל אנחנו יודעים שדלת אחת נפתחה ע"י המנחה, ויש שם עז
כלומר הדלת שבחרת היא של מכונית או של עז, אבל אין אופציה שלישית
התרשים מציג 3 אופציות ולכן מטעה.

 

[פינחס רוזנצוויג]

לכאורה הפתרון הפשוט הוא אכן להחליף דלת,
אבל יש בעיה, נניח שיש שני שחקנים בסיום השעשועון של מונטי הול, וכל אחד אמור להצביע על אחת הדלתות, ויקטור הצביע על הדלת הימנית, והנרי הצביע על האמצעית.
מונטי ניגש בנונשלנטיות לדלת השמאלית ופותח אותה לרווחה, לעיני שני המתמודדים מתגלה עז.
עכשיו יכול כל אחד מהמתמודדים להחליף את בחירותו.
באופן אבסורדי, כדאי לויקטור לבחור בדלת האמצעית ולהנרי בימנית, היתכן?
ואם כך, מה שונה מקרה זה למקרה שיש רק שחקן אחד?

 

[מגנום]

התרשים המובא כאן לא נכון, כי לפי התרשים יש אופציה לפתיחת 3 דלתות.
אבל אנחנו יודעים שדלת אחת נפתחה ע"י המנחה, ויש שם עז
כלומר הדלת שבחרת היא של מכונית או של עז, אבל אין אופציה שלישית
התרשים מציג 3 אופציות ולכן מטעה.

לפי מה שנראה, התרשים מתאר את המצב ההתחלתי -
שיש 3 דלתות סגורות.
נכון שיותר סיכוי שהדלת שבחרתי באקראי - מכילה עז? כי יש 2 עיזים ורק מכונית אחת.
לכן אם הסיכוי לבחור עז יותר גדול, אז גם הסיכוי שאחרי שינוי הבחירה תתקבל מכונית הוא יותר גדול.
בגלל ש: אחרי שהמנחה פתח דלת: אם בחרתי עז ושיניתי = מכונית. אם בחרתי מכונית ושיניתי = עז.
אז בגלל שהסיכוי ההתחלתי לבחור בעז הוא גדול יותר, נשים את החלק השני במשוואה ונקבל שהסיכוי לאחר השינוי לקבל מכונית הוא גדול יותר.
ולכן, אחרי שינוי הבחירה יש יותר סיכוי לזכות במכונית, בגלל שבהתחלה יותר סיכוי שנפלת על עז.

 

[SRW]

לכאורה הפתרון הפשוט הוא אכן להחליף דלת,
אבל יש בעיה, נניח שיש שני שחקנים בסיום השעשועון של מונטי הול, וכל אחד אמור להצביע על אחת הדלתות, ויקטור הצביע על הדלת הימנית, והנרי הצביע על האמצעית.
מונטי ניגש בנונשלנטיות לדלת השמאלית ופותח אותה לרווחה, לעיני שני המתמודדים מתגלה עז.
עכשיו יכול כל אחד מהמתמודדים להחליף את בחירותו.
באופן אבסורדי, כדאי לויקטור לבחור בדלת האמצעית ולהנרי בימנית, היתכן?
ואם כך, מה שונה מקרה זה למקרה שיש רק שחקן אחד?

מקרה זה אכן שונה מהותית מהמקרה בו יש רק שחקן אחד.
במקרה זה, חילקנו את הדלתות לשלוש קבוצות (בשונה מהמקרה המקורי בו חילקנו לשתים):
בקבוצה A - הדלת של ויקטור.
בקבוצה B - הדלת של הנרי.
בקבוצה C - הדלת האחרונה.
מונטי פתח דלת מתוך קבוצה C - בה לא היו דלתות נוספות.
גם הדלת של ויקטור וגם הדלת של הנרי - שתיהן לא היו בקבוצה שממנה יכול היה מונטי לפתוח את הדלת, כך שלא נוסף לנו שום ידע לגבי אף אחת מהן. במקרה זה - אכן אין הבדל בין הדלתות, גם לאחר שנפתחה הדלת השלישית, ואין עניין להחליף דלת.

לעומת זאת, במקרה המקורי שהובא בחידה, הדלת שנפתחה - נפתחה מתוך קבוצה בת שתי דלתות, ולכן לימדה אותנו משהו על הדלת השניה בקבוצה זו (זו שלא נפתחה).

הסיפור במקרה שהבאת שונה לגמרי מהסיפור המקורי, ולכן האבסורד אינו קיים כלל.

 

[אוזן שומעת]

שוב ושוב, אין הבדל אמיתי בין אם המנחה פתח את כל המליון דלתות לפני שבחרו דלת אחת או אחרי.
כלומר, בהנחה שהמכונית נמצאת או בקיצוני מימין או בקיצוני משמאל (כמובן אף אחד לא יודע, רק לדוגמא)
והבוחר בחר בימנית והמנחה פתח 99800000000 דלתות באמצע, ונשארה הדלת האחרונה.
אין הבדל אם הוא היה פותח את זה לפני הבחירה והיה משאיר לו 2 דלתות להסתפק או אחרי הבחירה ומשאיר לו עכשיו 2 דלתות להסתפק

 

[אליהו פ]

בקיצור יש כאן מחל’ גדולה שאף צד לא מצליח לשכנע את הצד שכנגד.
לצד א’: מכיוון שברגע הבחירה בדלת הימנית (לדוג’) הסיכוי שלי היה 33 אחוז, אז גם לאחר שגילו לי שהדלת האמצעית היא לא הנכונה עדיין הסיכוי שלי לא השתנה ורק הסיכוי של הדלת השמאלית עלה כי זה קבוצה א’ של הדלת השמאלית פלוס האמצעית שסך אחוזי הסיכוי שלהם נשאר תמיד 66.

ולצד ב’: לא מעניין אותי אף פעם מה היה קודם. אני תמיד מסתכל ברגע זה, ומכיון שברגע זה יש לי 2 דלתות בלבד - זה אומר שהסיכוי של כל דלת זה בדיוק 50 אחוז.
ולא משנה אם בהתחלה היו 2 דלתות או 3 או מליון.

ועיקר הספק הוא האם כשהמנחה פתח את הדלת האמצעית הוא גילה לי שיש סיכוי גבוה יותר שהמכונית מאחורי השמאלית, או שאדרבה, הוא גילה לי שהעמדה שלי עוד יותר צודקת.
ואין שום צד שישכנע את חבירו, אז חבל על הוויכוח הזה...

 

[Shalom.M]

במשחק העץ או פלי כשאתה מטיל מטבע 10 פעמים הסטטיסטיקה אומרת ש5 פעמים היא תיפול על העץ ו5 על הפלי ולמרות זאת כשמטבע נופלת 9 פעמים על העץ ברצף מה הסיכוי שתיפול על הפלי בפעם העשירית...? 50/50..
ולא 50 אחוז שתיפול על הפלי לעומת 0 לעץ
הוי אומר שגם אם השתמשת ב 50 אחוז של העץ ויותר ..עדיין בפעם האחרונה הסיכויים שווים..כי כל הטלת מטבע היא בפני עצמה ולא מתייחסת להעלות קודמות
ולכן גם אם הדלת השמאלית והאמצעית היה להם 66 אחוז כשנשללה הדלת האמצעית כאופציה השמאלית לא קבלה את האחוזים של האמצעית אלא נוצרה חלוקה שווה ...
וללמדנים עיינו ערך " כל קבוע כמחצה על מחצה דמי "...

 

[אריאל וו]

ואין שום צד שישכנע את חבירו, אז חבל על הוויכוח הזה...

יש צד שטועה, ויש צד שלא, כך שלא חבל על הוויכוח, כי אין פה מקום לשתי דעות, מדובר בפתרון ברור וחד משמעי ממש כמו 1 + 1 = 2.

 

[אריאל וו]

עוד ניסיון להסביר למה השחקן צריך להחליף את הבחירה המקורית שלו (נשתמש בדוגמה של 100 דלתות)
(1) השחקן בוחר דלת אחת.
(2) נניח שבמזל (במקרה של 1 מתוך 100) הוא בחר את המכונית (עדיין ללא ידיעתו).
(3) במקרה הזה, אם הוא יחליף את הבחירה שלו, הוא יפסיד.
(4) בכל שאר המקרים, אם הוא יחליף את הבחירה שלו, הוא ינצח.
לכן כדאי לו תמיד להחליף את הבחירה שלו, ולא להסתמך על סיכוי של 1/100. אם הוא ינהג כך, הוא ינצח ב-99 מתוך 100 פעמים שהוא משחק.
זה הכל! (אפשר כמובן לבדוק את זה, נגיד עם חבילה של קלפים שצריך לבחור את הג'וקר.)

 

[אליהו פ]

עוד ניסיון להסביר למה השחקן צריך להחליף את הבחירה המקורית שלו (נשתמש בדוגמה של 100 דלתות)
(1) השחקן בוחר דלת אחת.
(2) נניח שבמזל (במקרה של 1 מתוך 100) הוא בחר את המכונית (עדיין ללא ידיעתו).
(3) במקרה הזה, אם הוא יחליף את הבחירה שלו, הוא יפסיד.
(4) בכל שאר המקרים, אם הוא יחליף את הבחירה שלו, הוא ינצח.
לכן כדאי לו תמיד להחליף את הבחירה שלו, ולא להסתמך על סיכוי של 1/100. אם הוא ינהג כך, הוא ינצח ב-99 מתוך 100 פעמים שהוא משחק.
זה הכל! (אפשר כמובן לבדוק את זה, נגיד עם חבילה של קלפים שצריך לבחור את הג'וקר.)

אלא אם כן כשהמנחה פותח את כל שאר הדלתות חוץ מאחד הוא מוכיח לו שהבחירה שלו נכונה ב99 אחוז.

 

[אריאל וו]

איך המנחה מוכיח את זה לשיטתך?

 

[אריאל וו]

עוד נסיון הסבר:
אתה בוחר דלת אחת מתוך 100.
ישנם כעת שתי קבוצות: הדלת שלך, וכל שאר הדלתות.
החוקים השתנו וכעת הם יותר מקילים: אתה יכול לבחור אחת משתי הקבוצות הנ"ל. אם המכונית נמצאת בקבוצה שבחרת, תקבל אותה.
האם לא כדאי לך לשנות את הבחירה שלך, ולבחור את הקבוצה בת ה-99 דלתות, מאשר הקבוצה המקורית שלך, בת דלת 1 בודדת!?

 

[אליהו פ]

איך המנחה מוכיח את זה לשיטתך?

בזה שהוא מנסה לאתגר אותי עכשיו ופותח את כמעט כל הדלתות בשביל לשכנע אותי להחליף בחירה.
כזכור, אני לא יודע שהכללים מראש זה שאחרי שאני בוחר דלת מסויימת הוא פותח את השאר.
כי אם אני יודע שזה הכללים, אז הספק תמיד ישאר לי 50 - 50.

 

[אליהו פ]

עוד נסיון הסבר:
אתה בוחר דלת אחת מתוך 100.
ישנם כעת שתי קבוצות: הדלת שלך, וכל שאר הדלתות.
החוקים השתנו וכעת הם יותר מקילים: אתה יכול לבחור אחת משתי הקבוצות הנ"ל. אם המכונית נמצאת בקבוצה שבחרת, תקבל אותה.
האם לא כדאי לך לשנות את הבחירה שלך, ולבחור את הקבוצה בת ה-99 דלתות, מאשר הקבוצה המקורית שלך, בת דלת 1 בודדת!?

בזה וודאי שכדאי לי, כי כרגע זה 99 מול 1.
משא”כ אחרי שהמנחה פותח 98 - נשאר רק 1 מול 1

 

[אריאל וו]

בזה וודאי שכדאי לי, כי כרגע זה 99 מול 1.
משא”כ אחרי שהמנחה פותח 98 - נשאר רק 1 מול 1

אבל אתה הרי יודע בוודאות של 99/100 שהמכונית נמצאת בקבוצה השנייה. מה זה משנה מה שהמנחה עושה עם אותה קבוצה? הוא סה"כ ציין איפה, בקבוצה השנייה, לא נמצאת המכונית.

 

[אריאל וו]

בקיצור, קח 10 קלפים, שחק עם זה כמה פעמים, ותראה שאם אתה מחליף, תנצח ב-9 מתוך 10 פעמים.

 

[קושקוש]

לפי התשובה פה אז ההסתברות היא שהרכב נמצא מאחורי דלת 3,
עכשיו נניח שהתכנית עובדת בצורה בה יש שני מתמודדים שלא יודעים כ"א על בחירת השני [מבחינתם יתכן שבחרו באותה הדלת]
והמנחה פתח את דלת מספר 2,
מתמודד אחד בחר דלת 1 ומתמודד שני בחר דלת 3,
לפי החישובים פה הייתם ממליצים לכל אחד בפני עצמו לשנות את בחירתו...
אז איפה מירב הסיכויים?!