חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[שמעון שפירא]

הלוואי!
אם ה-"אקסיומה" שלך הייתה נכונה, זה אומר שכל מי שקונה כרטיס לוטו יש לו 50% סיכוי לנצח! (או שזה המספר המנצח, או שלא.)

ולדבריך בעצם יוצא מצב אבסורדי, שכאשר מאה אנשים רוכשים כרטיס הגרלה הרי שלכל אחד מהם יש רק אחוז אחד שיזכה, דהיינו מרבית הסיכויים שאף אחד מהם לא יזכה...
לא, לא באמת התכוונתי... ברור שזה לא כך, כיון שברור לנו שיש זוכה וזו לא רק 'הסתברות' שאחד מהמאה יזכה.
כך גם במקרה שלנו, כיון שמהתחלה היה ברור שהמכונית נמצאת מאחורי אחת הדלתות, אין עדיפות לאף דלת על חברתה ולא משנה האם דלת אחת יצאה מהספק.

 

[שמעון שפירא]

הסתברות זה יותר מניחוש העתיד. זה תיאור ההווה. למשל, הסנהדרין יוציאו להורג מקלל אביו על סמך ההסתברות שמדובר אמנם באביו, למרות ההסתברות הקטנה שאין זה באמת אביו.

זה בכלל לא ניחוש העתיד. זה תיאור המצב, בשאיפה לדיוק ככל האפשר.

אולי נגדיר זאת כניחוש ההווה [ולעיתים גם העתיד] על סמך ההיגיון?
גם כשהסנהדרין קובעים שהוא בן מות זה לא מחמת ודאות מוחלטת שהוא אביו, אלא מחמת שמספיקה לנו מידת ודאות כזו.

 

[שמעון שפירא]

זה לא עניין של מינוח, אלא של צורת חשיבה.
ובנוסף, קשה לטעון שתחום כלשהו אינו הגיוני, אם לא למדת אותו ואינך יודע מה טענותיו.

לא טענתי שתחום הסטטיסטיקה אינו הגיוני, אלא רק שאינו מדע מדויק - דבר מוסכם לענ"ד. גם מה שכתבתי שהסיכוי שהסטטיסטיקה תתגשם באופן מדויק אינו סביר כלל - ייתכן שטעיתי במינוח אבל גם זה מוסכם, כמו שממוצע לא שואף לשקף את המספר האמיתי [דבר שרבים טועים בו בנוגע לתוחלת החיים, וכותבים שאך לפני 150 שנה אנשים חיו 30 - 40 שנה, בעוד שנתון זה שגוי לחלוטין, היות שממוצע תוחלת החיים היה כה נמוך בגלל תמותת תינוקות וילדים ל"ע, אבל מי ששרד וחצה את העשור השני לחייו - על פי רוב גם עבר את גיל שבעים.
בתהלים מוזכר גיל שבעים\שמונים כגיל הממוצע של האדם, בחז"ל נזכר גיל 100 כגיל בו 'עבר ובטל', ואף בשירת ימי הבינים [ר' שמואל הנגיד] נזכר גיל מאה 'ומי יגיע למאה', ומשמע משם שגיל תשעים לא היה בבחינת 'ומי יגיע לתשעים', טוב, גלשתי...].

 

[פינחס רוזנצוויג]

דבר מוסכם לענ"ד.

היא מדע מדויק מאוד, הוא נתון לכלים מטמטיים והתוצאות הם חד משמעיות, לא בגלל שאי אפשר לצפות תוצאה חד משמעית המדע נהפך ללא מדויק.

הסיכוי שהסטטיסטיקה תתגשם באופן מדויק אינו סביר כלל - ייתכן שטעיתי במינוח אבל גם זה מוסכם,

זה כבר שטויות. בזריקת מטבע 10000 פעמם אוכל לומר לך בודאות שבין 4990 ל5010 יפלו על עץ.

על פי רוב גם עבר את גיל שבעים.

מאוד לא נכון, למרות שכאן נכנסים להסטוריה וזה חורג מהאשכול.
עיין ערך רמ"א וש"ך, ואף אחד לא חשב שהם מתו בקיצור ימים, והטז שמת בגיל 80 היה נחשב זקן מופלג.
תוחלת החיים של מי שעבר את גיל חמש באימפריה הרומית היה 48.

 

[אריאל וו]

ולדבריך בעצם יוצא מצב אבסורדי, שכאשר מאה אנשים רוכשים כרטיס הגרלה הרי שלכל אחד מהם יש רק אחוז אחד שיזכה, דהיינו מרבית הסיכויים שאף אחד מהם לא יזכה...

אכן, כשמאה אנשים רוכשים 100 כרטיסים שמתוכם רק כרטיס אחד מקנה זכייה, הסיכוי שכל אחד יזכה הוא 1/100 בלבד. למרות זאת, הסיכוי שמישהו מבין ה-100 בכל זאת יזכה הוא 100% = וודאות מוחלטת שיהיה כאן בר מזל אחד בדיוק!
אבל אם אני צריך להמר האם לי יש את הכרטיס הזוכה, או שמא לאחד מ-99 השחקנים האחרים, כמובן שהייתי מהמר על כל ה-99 האחרים ביחד, ולא על הכרטיס הבודד שלי בלבד. וגם אתה הייתי עושה ככה.
ונגיד שיבוא מישהו ויקרע 98 כרטיסים מפסידים (עם דגש על העובדה שהם כרטיסים מפסידים) מהקבוצה של ה-99, עדיין הייתי מהמר על הכרטיס הנשאר מהקבוצה ההיא כי כמעט בטוח שזה הכרטיס המנצח!
למה?
כי ישנם רק שתי אפשרויות: או שאני בחרתי את הכרטיס המנצח, או שההוא הוא הוא הכרטיס המנצח. אין אפשרות אחרת. ומאחר שהסיכוי שדווקא אני בחרתי את הכרטיס המנצח קלוש מאוד, ממילא כמעט בוודאות הכרטיס ההוא מנצח.
תחשוב טוב טוב לפני שאתה מתווכח עם זה, כי הדברים נכונים בעזר הצור, וגם אפשר לבדוק את זה במציאות.

 

[שמעון שפירא]

היא מדע מדויק מאוד, הוא נתון לכלים מטמטיים והתוצאות הם חד משמעיות, לא בגלל שאי אפשר לצפות תוצאה חד משמעית המדע נהפך ללא מדויק.

יכולת החיזוי על פיה אינו על בסיס מתמטי, אלא על בסיס הסתברותי.

זה כבר שטויות. בזריקת מטבע 10000 פעמם אוכל לומר לך בודאות שבין 4990 ל5010 יפלו על עץ.

קיים סיכוי, אולי נמוך, אולי נמוך מאד, שזה לא יקרה.

מאוד לא נכון, למרות שכאן נכנסים להסטוריה וזה חורג מהאשכול.
עיין ערך רמ"א וש"ך, ואף אחד לא חשב שהם מתו בקיצור ימים, והטז שמת בגיל 80 היה נחשב זקן מופלג.

גם לפני שלושים שנה גיל שמונים נחשב זקן מאד, ואנשים לא מתו סביב גיל 40.
והגר"א חי 78 שנה, ר"י אייבשיץ - סביב 70, הלבוש - 82, קצוה"ח - 68, רעק"א - 76, בעל התניא - 68, בית הלוי - 72, החיד"א - 82, ועוד ועוד, המג"א, לדוגמה, שנפטר לפני גיל 50, נזכר כמי שנפטר בגיל צעיר יחסית.

 

[שמעון שפירא]

שוב יש כאן אי-דיוק אצלך. כשמאה אנשים רוכשים 100 כרטיסים שמתוכם רק כרטיס אחד מקנה זכייה, הסיכוי שכל אחד יזכה הוא 1/100 בלבד. למרות זאת, הסיכוי שמישהו מבין ה-100 בכל זאת יזכה הוא 100% = וודאות מוחלטת שיהיה כאן בר מזל אחד בדיוק!
דברים ברורים גם לבר בי רב דחד יומא...

ברור, ואני עצמי כתבתי זאת, רק הצגתי זאת כך כדי לחדד את העובדה שהכל בנוי על זוית ההסתכלות וביחס למי אתה שואל את השאלה, אם תשאל לגבי כל אחד ואחד האם יש לו סיכוי לזכות, הרי שלכל אחד סיכוי נמוך מאד לכך, אבל אם תשאל על הכלל הרי ברור שאחד יזכה.

למעשה גם החשיבה שכדאי לבנאדם להחליף את הבחירה לוקה באותו חסר שלדבריכם לוקה החשיבה שלי. המנחה פתח דלת אחת, ומאחריה התגלתה עז א', מה הסיכוי שמאחורי הדלת שבחר השחקן קודם לכן נמצאת עז ב'? 30%, והדלת השניה נושאת את כל ששים האחוזים של 'הקבוצה השניה' שנמצאת בה עז ב', אם כן ברור שעדיף לי להשאר עם הבחירה, שהרי לדלת השניה יש 60% שאצלה עז ב'...
העמדתם את השאלה כאילו יש רק שתי אופציות מאחורי שלושת הדלתות, אבל למעשה יש שלוש אופציות, למה לא התייחסו לעובדה שיש למעשה שתי עזים? אולי בגלל שהיא לא באמת מעניינת אותנו, כי השאלה שלנו לא האם נמצאת שם מכונית או עז אלא האם נמצאת שם מכונית או לא נמצאת שם מכונית. אבל אם כן כל צורת חישוב האחוזים צריכה להיות אחרת, וכפי שכבר כתבתי לעיל.

 

[אריאל וו]

המנחה פתח דלת אחת, ומאחריה התגלתה עז א',

נראה לי שפה מונחת נקודת הבלבול, או האי-שימת לב שלכם למה שבאמת קרה.
המנחה לא סתם פתח "דלת אחת, שמאחריה "התגלתה עז". ממש לא.
המנחה פתח אחד משתי דלתות. אם התגלתה שם מכונית, הוא שוב סגר אותה ופתח את השנייה.
אם היה שם עז, הוא השאיר אותה פתוחה.
(וזה לא משנה אם הוא פתח או סגר, או ידע מראש איפה העז, היינו הך).
בקיצור, המנחה עשה קומבינה לוודאות שמאחורי הדלת הסגורה תהיה מכונית. ורק במקרה שהשחקן בחר מעיקר את המכונית (סיכוי 1/3 במשחק האורגינלי), לא יהיה מאחורי הגדת הסגורה של המנחה מכונית. זאת אומרת שהסיכוי שאין שם מכונית הוא רק 1/3.
לעומת זאת, הסיכוי שיש מכונית מאחורי הדלת של השחקן הוא רק 1/3.
לכן יש לבחור את הדלת השנייה.
_____
ואחזור על הדברים במקרה של 100 דלתות, כי זה נראה לי יותר ברור:
לפני המנחה מונחים 99 דלתות סגורים, כאשר מאוד מסתבר שמאחורי אחת מהן נמצאת המכונית.
עכשיו, המנחה עובר על כל 99 מהדלתות, פותח את כולם, מוצא את המכונית, ושוב סוגר את הדלת הזאת.
הסיכוי שהמכונית היא שם בין ה-99 הוא הרי 99/100, כך שיש הסתברות מאוד גבוהה שהמנחה מצא את המכונית מבין ה-99 דלתות שלו, וסגר את הדלת מאחוריה.
ורק במקרה קלוש, סיכוי של 1/100, הוא לא ימצא את המכונית מבין ה-99 דלתות, ולכן יצטרך לסגור סתם דלת שאין מאחוריה מכונית.
ממילא, אנחנו אומרים שמאוד מסתבר (99/100) שהמכונית דווקא מאחורי הדלת הסגורה של המנחה, לעומת הסתברות קלושה של 1/100 שהיא מאחורי הדלת שבחרת.

 

[שמעון שפירא]

נראה לי שפה מונחת נקודת הבלבול, או האי-שימת לב שלכם למה שבאמת קרה.
המנחה לא סתם פתח "דלת אחת, שמאחריה "התגלתה עז". ממש לא.
המנחה פתח אחד משתי דלתות. אם התגלתה שם מכונית, הוא שוב סגר אותה ופתח את השנייה.
אם היה שם עז, הוא השאיר אותה פתוחה.
(וזה לא משנה אם הוא פתח או סגר, או ידע מראש איפה העז, היינו הך).
בקיצור, המנחה עשה קומבינה לוודאות שמאחורי הדלת הסגורה תהיה מכונית. ורק במקרה שהשחקן בחר מעיקר את המכונית (סיכוי 1/3 במשחק האורגינלי), לא יהיה מאחורי הגדת הסגורה של המנחה מכונית. זאת אומרת שהסיכוי שאין שם מכונית הוא רק 1/3.
לעומת זאת, הסיכוי שיש מכונית מאחורי הדלת של השחקן הוא רק 1/3.
לכן יש לבחור את הדלת השנייה.
_____
ואחזור על הדברים במקרה של 100 דלתות, כי זה נראה לי יותר ברור:
לפני המנחה מונחים 99 דלתות סגורים, כאשר מאוד מסתבר שמאחורי אחת מהן נמצאת המכונית.
עכשיו, המנחה עובר על כל 99 מהדלתות, פותח את כולם, מוצא את המכונית, ושוב סוגר את הדלת הזאת.
הסיכוי שהמכונית היא שם בין ה-99 הוא הרי 99/100, כך שיש הסתברות מאוד גבוהה שהמנחה מצא את המכונית מבין ה-99 דלתות שלו, וסגר את הדלת מאחוריה.
ורק במקרה קלוש, סיכוי של 1/100, הוא לא ימצא את המכונית מבין ה-99 דלתות, ולכן יצטרך לסגור סתם דלת שאין מאחוריה מכונית.
ממילא, אנחנו אומרים שמאוד מסתבר (99/100) שהמכונית דווקא מאחורי הדלת הסגורה של המנחה, לעומת הסתברות קלושה של 1/100 שהיא מאחורי הדלת שבחרת.

אני לא מבין למה אתה מעביר כל פעם למאה דלתות, החידה זהה לחלוטין וזה רק מסבך את ההתייחסות לדברים.
הדברים היו ברורים מלכתחילה, חבל שאתה טורח להציג את הסיפור כל פעם באמצעים ציוריים אחרים. אבל למעשה לא התייחסת לעובדה שהעליתי שיש כאן שתי עזים, וכל עז היא בעלת אישיות נפרדת, וזה לא שאם הוא יפתח את הדלת הוא יגלה או 'עז' או מכונית, אלא יגלה או עז א' או עז ב' או מכונית. מה הסיכוי שעז ב' נמצאת מאחורי הדלת השלישית, זאת שלא נבחרה ולא נפתחה? אותו סיכוי בדיוק שנמצאת שם המכונית - 60%.
אם תרצה תעביר את השאלה ל-100 דלתות. המנחה פתח תשעים ושמונה דלתות ומאחוריהן התגלו [לשחקן, לא למנחה, הוא ידע מראש כמובן] העזים א'-צ"ח, מה הסיכוי שעז צ"ט נמצאת מאחורי הדלת האחרונה [מלבד זו שנבחרה מראש]? אותו סיכוי בדיוק שנמצאת שם המכונית.
כמובן שהעזים לא צריכות להיות שונות או ממוספרות, מספיק שכל אחת מהם בעלת גוף אחר.

 

[אריאל וו]

המנחה פתח תשעים ושמונה דלתות ומאחוריהן התגלו [לשחקן, לא למנחה, הוא ידע מראש כמובן] העזים א'-צ"ח, מה הסיכוי שעז צ"ט נמצאת מאחורי הדלת האחרונה [מלבד זו שנבחרה מראש]? אותו סיכוי בדיוק שנמצאת שם המכונית.

לא ולא. כאן הטעות. הוא לא פתח 98 דלתות באקראי. הוא פתח דווקא את הדלתות שאין מאחוריהם מכונית.
(1) במקרה שהמכונית מאחורי דלת מס׳ 1 של המנחה, הוא יפתח לדתות 2-99.
(2) במקרה שהמכונית מאחורי 2, הוא יפתח 1 ו-3-99.
(3) במקרה שהמכונית מאחורי 3, הוא יפתח 1-2 ו 4-99...
וכן הלאה... עד
(99) במקרה שהמכונית מאחורי 99, הוא יפתח 1-98.
בכל 99 מהמקרים הנ״ל, הוא משאיר בכוונה, ולא באקראי, את הדלת שמאחוריה המכונית, סגורה.
מאחר שסה״כ ישנם רק 100 מקרים אפשריים, זה אומר שב-99 מהם המכונית בוודאי מאחורי הדלת של המנחה.
לכן כדאי לבחור את הדלת של המנחה.

 

[אריאל וו]

כמובן שאם המנחה באמת היה פותח 98 מה-99 באקראי, אז הסיכוי שהעז מאוחרי הדלת שלו שנשארה היא בדיוק כמו הסיכוי שהיא מאחורי הדלת של השחקן. כי יש כאן שתי אפשרויות:
(1) מבין ה-98 שהוא פתח, הוא פתח את הדלת שמאחוריה המכונית (ייתכן, כי הרי הוא פותח את הדלתות באקראי כפי שאמרנו), וממילא ההסתברות שהמכונית מאחורי הדלת שנשארה לו או מאחורי הדלת שלך היא 0%, דהיינו, אותו הסתברות ממש.
(2) או שהוא לא פתח דלת עם מכונית, ובמקרה הזה, נותרו 2 דלתות: שלך ושלו, והסיכוי שמאחורי כל אחד מהם המכונית הוא בדיוק 50% (כי זה או מאחורי הדלת שלך או מאחורי שלו), כך שגם במקרה זה, ההסתברות שווה.
נמצא, איפה, שאם המנחה פותח 98 דלתות באקראי, אכן אין שום סיבה להחליף את הבחירה שלך לדלת שלו.

 

[SRW]

יכולת החיזוי על פיה אינו על בסיס מתמטי, אלא על בסיס הסתברותי.

סטטיסטיקה והסתברות הם ענפים במתמטיקה, והם מבוססים עליה במלואם.
אין כאן שום עניין מיסטי, חיזוי בכוכבים, או משהו בסגנון.
רק מתמטיקה טהורה.
הסתברות אפילו נכללת בבגרות 5 יח"ל במתמטיקה.

ונראה לי התייאשתי, כי אנחנו הולכים כאן במעגלים לא-נגמרים, לא נראה לי שהיו חידושים מסעירים בעמודים האחרונים.

כמובן שאם המנחה באמת היה פותח 98 מה-99 באקראי, אז הסיכוי שהעז מאוחרי הדלת שלו שנשארה היא בדיוק כמו הסיכוי שהיא מאחורי הדלת של השחקן.

רק עוד נקודה כדי לדייק: זה לא משנה אם המנחה ידע או שפתח באקראי. להסברים, ניתן לדפדף אחורה.

 

[אריאל וו]

רק עוד נקודה כדי לדייק: זה לא משנה אם המנחה ידע או שפתח באקראי. להסברים, ניתן לדפדף אחורה.

? בוודאי שמשנה. כשאני אומר ״באקראי״, הכוונה שאם במקרה המנחה פותח את הדלת עם המכונית, הוא משאיר אותה פתוחה (נגד כללי המשחק המקורי) -- ואם אילו הם הכללים, אז באמת אין שום ייתרון בדלת של המנחה בסוף. ״שלא באקראי״ הכוונה שאם הוא פותח את הדלת עם המכונית, הוא סוגר אותה שוב (או שמאחר שהוא יודע, הוא בכוונה לא בוחר לפתוח אותה), ואז יש יתרון גדול בדלת הסגורה של המנחה בסוף.
והדברים פשוטים, רק שהם דורשים קצת עיון ושימת לב.

 

[מתייעץ צעיר]

לכל מי שאומר שלא כדי להחליף
היה לי גיס שהתווכח איתי על זה שעות
עד שפשוט שמתי שלש כוסות על השולחן ומתחת אחד מהם מטבע ועשינו את התרגיל
מהר מאוד הוא הבין שכדי לו להחליף

 

[יוסף שובל]

בוא ננסח את זה אחרת.
אם יש לאדם זכות להיכנס רק לאחד משתי חדרים כדי לנחש, בחדר הראשון 2 דלתות ובחדר השני דלת אחת, ומאחורי אחת מכל שלושת הדלתות יש את המכונית, לאיזה חדר שווה לו להיכנס ולנסות?
לחדר עם השני דלתות.
בתרגום לחידה - ברגע שאדם בחר דלת אחת בשעשועון הזה, כבר יותר סיכוי (סטטיסטי, הסתברותי, פוטנציאלי, וואטאוור)
שהמכונית תהיה בשתי דלתות שהוא לא בחר, למה? כי הם יותר!
ולכן שווה לו להחליף (תיאורטית) עוד לפני שמראים לו שיש עז באחת מהדלתות שהוא לא בחר
(אגב, זה וודאי במאה אחוז שיש לפחות עז אחת מאחורי הדלתות שהוא לא בחר, מה שאומר שאין פה כזה גילוי מצד המנחה אלא יותר מיקום של העז)

 

[אסתריקה הלר]

קראתי חלק מהתשובות ואני דווקא חושבת שעדיף לא להחליף דלת.
כי אם הוא בחר את הדלת בלי העז, הגיוני היה שהמנחה יפתח את הדלת שהוא בחר וכך יהיה לו קשה יותר לבחור בין ה2 הנותרות. המנחה בחר לפתוח דלת אחרת- משמע הוא כן בחר בדלת הנכונה והמנחה לא יכל להוריד לו את האופציה הזאת.
(אלא אם היה כלל שהמנחה חייב לבחור באחת הדלתות הנותרות דווקא ולא בזו שהוא בחר)

 

[פינחס רוזנצוויג]

קראתי חלק מהתשובות ואני דווקא חושבת שעדיף לא להחליף דלת.
כי אם הוא בחר את הדלת בלי העז, הגיוני היה שהמנחה יפתח את הדלת שהוא בחר וכך יהיה לו קשה יותר לבחור בין ה2 הנותרות. המנחה בחר לפתוח דלת אחרת- משמע הוא כן בחר בדלת הנכונה והמנחה לא יכל להוריד לו את האופציה הזאת.
(אלא אם היה כלל שהמנחה חייב לבחור באחת הדלתות הנותרות דווקא ולא בזו שהוא בחר)

אכן, אחד מהתנאים הראשוניים של הסיפור היא, שהמנחה חייב לפתוח דלת נוספת אחר ההצבעה של השחקן.

 

[מתייעץ צעיר]

קראתי חלק מהתשובות ואני דווקא חושבת שעדיף לא להחליף דלת.
כי אם הוא בחר את הדלת בלי העז, הגיוני היה שהמנחה יפתח את הדלת שהוא בחר וכך יהיה לו קשה יותר לבחור בין ה2 הנותרות. המנחה בחר לפתוח דלת אחרת- משמע הוא כן בחר בדלת הנכונה והמנחה לא יכל להוריד לו את האופציה הזאת.
(אלא אם היה כלל שהמנחה חייב לבחור באחת הדלתות הנותרות דווקא ולא בזו שהוא בחר)

ברור שהמנחה בוחר באחת הנותרות

 

[שמעון שפירא]

סלחו לי רבותיי על ההשתמטות שלי מלהגיב עד כה, פשוט אין לי כ"כ זמן... נסיון אחרון:
במידה וקניתי כרטיס להגרלה, וכמוני קנה עוד אדם כרטיס לאותה הגרלה, כמה סיכויים יש לכל אחד מאיתנו? כמובן 50%. כשבא אדם נוסף וקונה גם הוא כרטיס לאותה הגרלה, האם הוא הוריד את הסיכויים שלי לזכות בהגרלה? על פי תורת ההסתברות המתמטית וההגיונית ודאי שכן, על פי האמת ממש לא. המתמטיקה\סטטיסטיקה\הסתברות\לוגיקה\וכל שום וחניכא דאית לה מתייחסת לסיכויים של אחד כלפי אחרים, אבל המציאות בשטח מתייחסת לאפשרות של האחד כלפי עצמו. והראיה, שלמרות שמליון אנשים קנו כרטיסי הגרלה ולכל אחד מהם היה רק סיכוי של אחד למליון לזכות בסוף פלוני אלמוני זכה. איך הוא זכה למרות ה'סיכוי' הנמוך? כי פשוט היתה לו אפשרות לזכות [בהגרלות פיס, בהם גם לא באמת מוכרח להיות זוכה, החידוש שבזכיה גדול יותר].
גם במקרה שלנו, אין סיבה אמיתית שהמכונית תהיה מאחורי דלת זו או אחרת, כשנפתחה דלת אחת זה כלל לא השליך על המציאות, כי אם כבר בחרתי את הדלת הנכונה [והיתה לכך אפשרות], הרי כל רוחות שבעולם לא יזיזוה לדלת השניה, כך שאין לה עדיפות אמיתית, כי אין סיבה שהיא תהיה שם יותר מאשר כאן.
השימוש ה'אמיתי' של ההסתברות הוא רק כאשר מקרה זה חוזר על עצמו, אז היא יכולה לחזות את הסיכויים, וגם אז היא עלולה לטעות [וזו לא תהיה טעות אמיתית, כי היא לא חזתה את האמת רק את ההסתברות, ודברים יכולים ואף לעיתים חייבים לפעול נגד ההסתברות].

מקוה שהפעם יהיה יותר מובן מה שאני טוען [לא חייבים להסכים איתי, כמובן...], אשתדל להיכנס כדי לראות את התגובות במידה ותהיינה, אבל יהיה קשה לי לחזור ולהגיב שוב ושוב.

 

[אריאל וו]

במידה וקניתי כרטיס להגרלה, וכמוני קנה עוד אדם כרטיס לאותה הגרלה, כמה סיכויים יש לכל אחד מאיתנו? כמובן 50%.

המשפט הזה לא נכון כלל, אא"כ בהגרלה יש סה"כ 2 כרטיסים. (ובסתם הגרלה יש הרבה יותר כרטיסים.)
אם יש 100 כרטיסים, אז לך יש סיכוי של 1/100 ולחברך יש את אותו סיכוי, 1/100. אבל בוודאי שלא 50%.
מה שמטעה אותך (לפי הערות קודמות שכתבת) זה המושג של "כל קבוע כמחצה על מחצה דמי", שהוא לא שייך לעינינו כאן.

אין סיבה אמיתית שהמכונית תהיה מאחורי דלת זו או אחרת, כשנפתחה דלת אחת זה כלל לא השליך על המציאות, כי אם כבר בחרתי את הדלת הנכונה [והיתה לכך אפשרות], הרי כל רוחות שבעולם לא יזיזוה לדלת השניה

יותר מסתבר שהמכונית אינה מאחורי הדלת שבחרת. באמת, לא משנה מה שהמנחה עושה, נשאר לך סיכוי של 1/3 שהמוכנית מאחורי הדלת שבחרת, אבל יש סיכוי של 2/3 שזה מאחורי הדלת שנותרה סגורה אצל המנחה, ולכן כדאי להחליף לדלת שלו. זה כל הסיפור, באמת לא כל כך מסובך!
אז אע"פ ששתי הדלתות "קבועים" במידת מה, ההסתברות איננה "כמחצה על מחצה" כלל במקרה דנן, אלא 1/3 אצלך ו-2/3 אצל המנחה. ולכן אם יש לך 24,000 זוגות תלמידים שכולם עומדים לשחק את המשחק הזה פעם אחת, אתה צריך להורות להם להחליף דלת, כי התורה חסה על ממונם של ישראל וע"י שיחליפו דלת 2/3 יזכו, לעומת אם אתה אומר להם להשאר עם הבחירה המקורית, שאז רק 1/3 יזכו וחבל!