חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[SRW]

כל המושג סטטיסטיקה בנוי על מספר האפשרויות שלפנינו

כי הסיכוי שסטטיסטיקה תעבוד אינו עומד במבחן הסטטיסטיקה...

האחוזים והסטטיסטיקה אינם נתונים, הם סך הכל כלים לשכלול וחישוב הנתונים שלפנינו, אם השתנו הנתונים [דלת אחת נפתחה] חישובי הנתונים מתחילים מחדש.

שוב אשאל: האם למדת פעם סטטיסטיקה?
כי נראה שיש כאן חוסר הבנה בסיסי בהגדרת המושג, וכן חוסר חילוק בין המושגים "סטטיסטיקה" ו"הסתברות", שעל אף שהם קשורים - השאלה לעיל עוסקת בהסתברות, אז קצת מוזר לדבר (או לנסות לדבר) כל הזמן במונחים של סטטיסטיקה.

הבה נתאר לעצמנו את הסיפור בעולם גמיש יותר...
מיודענו עדיין לא החליט באיזו דלת לבחור, והנה בא המנחה הנדיב ופותח דלת אחת והנה מאחוריה פועה עז.
יבוא החכם וימליץ לשחקן, ראה, אם נטית יותר לבחור בדלת א', הרי שכדאי לך להמיר את הבחירה לדלת ב', אם נטיית ליבך היתה יותר לכיון דלת ב', הרי שמירב הסיכויים עברו לדלת א', אכן אם בכלל התכוונת לבחור בדלת ג', זו שנפתחה, הרי שסיכוייהם של דלתות א' ו-ב' זהים ואמליץ לך על גורל אן דן דינו...

הדוגמא שהבאת מעידה על אי הבנת הדוגמא המקורית לעומק. המשמעות של הבחירה הראשונית בבעיה המקורית היא שאת הדלת הזו המנחה בוודאי לא יפתח, ויש לשקלל נתון זה בבואנו לפתור את הבעיה.
כאן התעלמת מנתון זה לחלוטין, ולכן אין קשר בין הדוגמא לבין הבעיה המקורית.

 

[פינחס רוזנצוויג]

הסיכוי שסטטיסטיקה תעבוד אינו עומד במבחן הסטטיסטיקה... אין שום הכרח שיצא הג'וקר פעם אחת בקלף הנבחר ותשע פעמים בקלפים שלא נבחרו. וגם אם באמת זה יקרה שום דבר לא באמת הכריח אותו לשמוע בקול הסטטיסטיקה.

ברור שבנסיון אחד אכן הסטטיסטיקה לא בהכרח תעבוד, אבל בעשרות נסיונות התוצאות יתכנסו לתחזית הסטטיטית כפי שמורה חוק המספרים הגדולים.
במקרה של הבעיה של מונטי הול, אכן ישנם 33 אחוזים שהשחקן יפסיד, זה די הרבה, אבל בעשרות משחקים הוא ירויח 66 אחוז מהמכוניות.
אם אתה סבור שהצלחת להסביר את הדין של 'כל קבוע כמחצה על מחצה' אם כן תבאר לי למה אם ריבוא חנויות מוכרות בשר כשר ואחת מוכרת טריפה ולקח ואינו יודע מהיכן, גם אז יש לך 50 אחוז שהוא לקח מהטריפה? אין לזה טעם וע"כ שהוא גזירת הכתוב והוא תלוי בסברת הנהגת הליכה אחר הרוב.

 

[נתנאל ח]

תכלס אם ניקח את רוב האופציות הקיימות יוצא שאלו שהחליפו הרוויחו ברוב המקרים אז למה לא להחליף???
יש 9 אפשרויות
3*3 ומתוכם ב6 מקרים שווה להחליף וב3 מקרים לא
אז למה להסתבך????

 

[אריאל וו]

הבה נניח שבחרתי קלף אחד מתוך עשר, ותשע פעמים בזה אחר זה לא יצא לי ג'וקר, האם בפעם העשירית תוכל להבטיח לי שהפעם יצא הג'וקר הגואל? ממש לא, עדיין נשארו 90% שיישאר הג'וקר בין התשע שלא בחרתי.

כמובן שלא. בכל פעם שאתה בוחר קלף אחד מתוך 10, הסיכוי נשאר 1/10 שתבחר את הג׳וקר, ללא תלות במה שקדם, כפי שכתבת.
אבל למעשה, אם תעקוב אחרי ההוראות שכתבתי, יהיו מונחים לפניך 2 קלפים שונים מאוד. על הקלף שבחרת רובצת הסתברות של 1/10 שהוא הג׳וקר, ועל השני רובצת הסתברות של 9/10 שהוא הג׳וקר, ולכן כדאי להחליף קלפים כדי לנצח.
מה היא ההסתברות הזאת ש״רובצת״ על הקלפים? פשוט ידע מוקדם לגבי ההיסטוריה של הקלפים. שתי הקלפים עברו תהליך, והתהליך שהקלף השני עבר מגביר מאוד את ההסברות שהוא הוא הג׳וקר.

אבל חבל להתווכח, קח קלפים, תשחק את המשחק 10 פעמים, או 100 פעמים, ותראה שב-9 מתוך עשר פעמים (פחות או יותר) תנצח. אני מאמין שלא תתווכח גם עם המציאות?

 

[שמעון שפירא]

אבל חבל להתווכח, קח קלפים, תשחק את המשחק 10 פעמים, או 100 פעמים, ותראה שב-9 מתוך עשר פעמים (פחות או יותר) תנצח. אני מאמין שלא תתווכח גם עם המציאות?

עשיתי כדבריך, והג'וקר יצא במה שבחרתי רק בפעם ה-16, מה תאמר על זה?

 

[יוסף שובל]

יסלחו לי רבותי, מההתחלה היו לכל דלת 50 אחוזים מלאים!!!
נראה תמוה?
למעשה כשהאדם בוחר דלת, כעת כבר לא מעניין אותו מה יש מאחורי הדלתות האחרות, הוא שואל את עצמו, מאחורי דלת זו יש רכב או אין רכב [הוא לא שואל האם יש שם עז א', עז ב' או רכב, כי זה לא מעניין אותו אם יקבל את עז א' או ב', הוא דן רק לגבי הרכב]. התשובה על שאלה זו היא או כן או לא - 50/50.
מה השתנה כשנפתחה דלת? זה לא נתן לו מידע נוסף על הדלת 'שלו', הסיכויים נותרו 50/50 כפי שהיו לפני כן. זה נכון גם ל-100 דלתות וגם ל-100,000 דלתות. אחרי שבחר דלת מסוימת לא התחדש לו אף בדל מידע על דלת זו.
וזה בעצם ההיגיון העומד מאחרי 'כל קבוע כמחצה על מחצה', שהרי לא משנה לך מה קורה במקומות אחרים, אתה רוצה לדעת האם הבית שאתה עומד להיכנס אליו טהור או לא וכדומה, ולא באמת משנה לך האם רוב הבתים טהורים.

אבל פה זה כבר כל דפריש. משום שאחרי הבחירה שלו בדלת הראשונה נוצרו שני קבוצות של דלתות, הקבוצה עם הדלת שהוא בחר - והקבוצה עם שני הדלתות שהוא לא בחר. שבאחת מהקבוצות יש דלת עם מכונית.

 

[אריאל וו]

עשיתי כדבריך, והג'וקר יצא במה שבחרתי רק בפעם ה-16, מה תאמר על זה?

אומר שככל שתמשיך לשחק, תראה שמספר הפעמים שתמצא את הג׳וקר לעומת מספר המשחקים יתקרב מאוד ליחס של 1 מתוך 10.
ייתכן גם שיש שיבוש בניסוי. לדוגמה, אולי בצורה שאתה מערבב את הקלפים, הג׳וקר לעולם לא יהיה בקצה של החבילה, ולעומת זאת, אתה תמיד בוחר דווקא את הקלף בקצה. אז למען טהרת הניסוי, כדאי כל פעם לבחור קלף במקום אחר (לא תמיד את אותו קלף).

 

[שמעון שפירא]

שוב אשאל: האם למדת פעם סטטיסטיקה?
כי נראה שיש כאן חוסר הבנה בסיסי בהגדרת המושג, וכן חוסר חילוק בין המושגים "סטטיסטיקה" ו"הסתברות", שעל אף שהם קשורים - השאלה לעיל עוסקת בהסתברות, אז קצת מוזר לדבר (או לנסות לדבר) כל הזמן במונחים של סטטיסטיקה.

לא שאלת אותי עדיין, כך שזה לא 'שוב'. אבל אני מודה ומתודה שלא למדתי סטטיסטיקה, ועל כן ייתכן שהמינוחים שלי לא מקצועיים, אבל עדיין אבקש להתייחס לתוכן הדברים גם אם המינוח לא מדויק.

הדוגמא שהבאת מעידה על אי הבנת הדוגמא המקורית לעומק. המשמעות של הבחירה הראשונית בבעיה המקורית היא שאת הדלת הזו המנחה בוודאי לא יפתח, ויש לשקלל נתון זה בבואנו לפתור את הבעיה.
כאן התעלמת מנתון זה לחלוטין, ולכן אין קשר בין הדוגמא לבין הבעיה המקורית.

צודק, אנסח את זה בצורה אחרת.
נכנס להגיגיו של השחקן המתלבט באיזו דלת לבחור, אם יבחר את דלת א', הרי אז ייתכנו שתי אפשרויות, אם המנחה יפתח את דלת ב' יהיה עדיף לו להחליף לדלת ג', ואם המנחה יפתח את דלת ג' יהיה עדיף לו להחליף לדלת ב'. אם יבחר את דלת ב', הרי שההתלבטות הזו תהיה לגבי דלתות א' ו-ג', וכן גם אם יבחר בדלת ג' הרי ייאלץ אחר כך להחליף לדלת א' או ב'. זאת אומרת שכל דלת בה יבחר מראש יהיה עליו להחליף לדלת אחרת אחרי שיפתח המנחה את אחת משתי הדלתות הנותרות.

 

[שמעון שפירא]

אבל פה זה כבר כל דפריש. משום שאחרי הבחירה שלו בדלת הראשונה נוצרו שני קבוצות של דלתות, הקבוצה עם הדלת שהוא בחר - והקבוצה עם שני הדלתות שהוא לא בחר. שבאחת מהקבוצות יש דלת עם מכונית.

למה?
הדלתות לא השתנו, וגם הידיעה שלי עליהם לא השתנתה.
אתה מבטל בזה את כל המושג של 'קבוע', אם ברגע שבחרתי באחד מתוך הקבועים הוא הופך ל'פריש'.

 

[יוסף שובל]

עצם המיקוד של השאלה על אחד מתוך קבוצה זה מה שיוצר "פריש", הדיון עליו בנפרד מהקבוצה בידל אותו ממנה - או הפריש אותו... אם תרצה.

 

[שמעון שפירא]

אומר שככל שתמשיך לשחק, תראה שמספר הפעמים שתמצא את הג׳וקר לעומת מספר המשחקים יתקרב מאוד ליחס של 1 מתוך 10.
ייתכן גם שיש שיבוש בניסוי. לדוגמה, אולי בצורה שאתה מערבב את הקלפים, הג׳וקר לעולם לא יהיה בקצה של החבילה, ולעומת זאת, אתה תמיד בוחר דווקא את הקלף בקצה. אז למען טהרת הניסוי, כדאי כל פעם לבחור קלף במקום אחר (לא תמיד את אותו קלף).

אתה צודק לגמרי, אבל כל זה לא קשור לנידון דידן, בו הוא משחק רק פעם אחת.
כמו כן זה עדיין לא מתווכח עם האקסיומה שהעמדתי בהתחלה שבנוגע לקלף הבודד הסיכוי הוא 50/50 אם הוא ג'וקר או לא.

 

[שמעון שפירא]

עצם המיקוד של השאלה על אחד מתוך קבוצה זה מה שיוצר "פריש", הדיון עליו בנפרד מהקבוצה בידל אותו ממנה - או הפריש אותו... אם תרצה.

אבל תמיד בנידון של 'קבוע' השאלה בסוף מתמקדת באחד.

 

[יוסף שובל]

בלי להיכנס לכל השס, אבל בתשע כנענים וכו הדיון הוא על רוצח מול הקבוצה ולא מול נרצח ספציפי, ובתשע חנויות זה קונה מול כל החנויות ולא מול חתיכה ספציפית וכן הלאה, רק השאלה המעשית נוגעת לאובייקט עצמו אבל הדיון בקבוע הוא על הקבוצה. (להבנתי).
ולכן כשישנם 2 קבוצות, אחת שבה הדלת שנבחרה מקודם ויש בקבוצה הזו רק דלת אחת מסופקת, ואחת שבתוכה (כנראה) הדלת עם המכונית, (מכיוון שיש שם יותר אופציות) לכאורה המכונית שם, ולאחר שסיננו בקבוצה השניה את כל שאר הדלתות - היא ההגיונית יותר לבחירה.

 

[אריאל וו]

כמו כן זה עדיין לא מתווכח עם האקסיומה שהעמדתי בהתחלה שבנוגע לקלף הבודד הסיכוי הוא 50/50 אם הוא ג'וקר או לא.

הלוואי!
אם ה-"אקסיומה" שלך הייתה נכונה, זה אומר שכל מי שקונה כרטיס לוטו יש לו 50% סיכוי לנצח! (או שזה המספר המנצח, או שלא.)

 

[מתן מאור]

הלוואי!
אם ה-"אקסיומה" שלך הייתה נכונה, זה אומר שכל מי שקונה כרטיס לוטו יש לו 50% סיכוי לנצח! (או שזה המספר המנצח, או שלא.)

יש לו חמישים אחוז סיכוי לנצח בהסתברות של אחד לשמונה מיליון וקצת

 

[חני חה חה חה]

סטטיסטיקה= ניתוח העבר
הסתברות= ניחוש העתיד על בסיס הסטטיסטיקה

 

[אריאל וו]

סטטיסטיקה= ניתוח העבר
הסתברות= ניחוש העתיד על בסיס הסטטיסטיקה

הסתברות זה יותר מניחוש העתיד. זה תיאור ההווה. למשל, הסנהדרין יוציאו להורג מקלל אביו על סמך ההסתברות שמדובר אמנם באביו, למרות ההסתברות הקטנה שאין זה באמת אביו.

 

[SRW]

הסתברות= ניחוש העתיד על בסיס הסטטיסטיקה

זה בכלל לא ניחוש העתיד. זה תיאור המצב, בשאיפה לדיוק ככל האפשר.

 

[SRW]

לא שאלת אותי עדיין, כך שזה לא 'שוב'. אבל אני מודה ומתודה שלא למדתי סטטיסטיקה, ועל כן ייתכן שהמינוחים שלי לא מקצועיים, אבל עדיין אבקש להתייחס לתוכן הדברים גם אם המינוח לא מדויק.

זה לא עניין של מינוח, אלא של צורת חשיבה.
ובנוסף, קשה לטעון שתחום כלשהו אינו הגיוני, אם לא למדת אותו ואינך יודע מה טענותיו.

 

[שמעון שפירא]

בלי להיכנס לכל השס, אבל בתשע כנענים וכו הדיון הוא על רוצח מול הקבוצה ולא מול נרצח ספציפי, ובתשע חנויות זה קונה מול כל החנויות ולא מול חתיכה ספציפית וכן הלאה, רק השאלה המעשית נוגעת לאובייקט עצמו אבל הדיון בקבוע הוא על הקבוצה. (להבנתי).
ולכן כשישנם 2 קבוצות, אחת שבה הדלת שנבחרה מקודם ויש בקבוצה הזו רק דלת אחת מסופקת, ואחת שבתוכה (כנראה) הדלת עם המכונית, (מכיוון שיש שם יותר אופציות) לכאורה המכונית שם, ולאחר שסיננו בקבוצה השניה את כל שאר הדלתות - היא ההגיונית יותר לבחירה.

להבנתי מה שאתה מתאר זה המושג 'כל דפריש', שלמרות שהשאלה היא על החתיכה האם היא כשרה או טרפה, הנידון הוא על כלל התערובת ואנו מניחים שהחתיכה פרשה מהרוב, ולעומת זאת בקבוע, כיון שאין כאן תערובת אמיתית הדיון הוא על כל פרט ופרט, ובזה אין לנו עדיפות לצד פלוני על אלמוני - מחצה על מחצה.