חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[דרכה של תורה]

טחנו את זה בישיבה שנה אם הרש"ש ורע"א בכתובת יב

 

[ynigun]

כשבחרנו מראש כרטיס אחד מתוך ה-10000 (או השלוש, העיקרון הוא אותו עיקרון במספרים שונים), חילקנו את הכרטיסים לשתי קבוצות:
קבוצה A כוללת בתוכה כרטיס אחד - שהוא הכרטיס שבחרנו.
קבוצה B כוללת בתוכה את שאר הכרטיסים - 9999 במקרה הזה.
הסיכוי שהכרטיס הזוכה נמצא בקבוצה A הוא 0.0001.
הסיכוי שהכרטיס הזוכה נמצא בקבוצה B הוא 0.9999.
כשהמנחה פתח את 9998 הכרטיסים שלו, הוא לא השפיע כלל על קבוצה A - זוהי קבוצה נפרדת לגמרי, והפעולות שנעשות בקבוצה B לא משפיעות עליה.
במקום זאת, הוא לימד אותנו משהו על קבוצה B - שכל הסיכויים שיש לאותה קבוצה, מתרכזות בכרטיס הבודד.
הפעולה לא שינתה את הסיכויים של כל קבוצה. היא רק לימדה אותנו, בתוך הקבוצה עצמה - לאיזה כרטיס יהיו הסיכויים שייכים.
אגב, גם אם מישהו נכנס לחדר אחרי שהמנחה פתח את הכרטיסים - הסיכויים נשארים כמו שהסברתי לעיל. הוא רק לא יידע זאת, המסכן, ויחשוב בטעות שהסיכויים שווים. אבל זו תהיה טעות שמבוססת על אי ידיעת הנתונים.

לכן שאלתי מה קורה אם אני מגיע ורוצה לקנות כרטיס אחרי שהמנחה פתח 9998 כרטיסים
גם אם אני יודע את כל ההיסטוריה אין לי סיבה לקנות את כרטיס A על פני כרטיס B.
מה יקרה אם נקנו 10000 כרטיסים ע"י 10000 אנשים ונפתחו 9998 כרטיסים ונשארו 2 אחרונים?
האם חלוקה לקבוצות דמיוניות ישנה את ההסתברות?
צריך לדייק המנחה יודע מה הכרטיס/דלת הזוכה ופותח רק את אלו שלא זכו.
וכן שבשונה מהשאלה המקורית כאן השאלה היא לא האם להחליף? אלא מה השווי לצד שלישי?

בויקיפדיה יש תרשים לתשובה לבעיית מונטי הול

שים לב שהתרגיל כאן הוא מה ההסתברות שמי שמשנה את הבחירה שלו יזכה לעומת מי שלא לא משנה
ככה שיש לנו 3*2 תרחישים ומתוכם בשני תרחישים זוכה מי שבוחר באסטרטגיית החלפה לעומת 1 למי שבוחר באסטרטגיית התעקשות.
אבל אם אני מגיע אחרי שהמנחה פתח את אחד הדלתות כל הנ"ל לא רלוונטי כנ"ל אם אני קונה כרטיס וכנ"ל אם היו 10000 קונים ל10000 כרטיסים

 

[שמוחה]

אל תחליף.
תמשיך חזק עם האינטואיציה שלך בינתיים זה עובד יופי וקיבלת לזה חיזוק.

 

[ברוכה תהיי]

ברגע שידוע לנו שנותרו רק 2 דלתות: אחת שמובילה לעז ושניה שמובילה למכונית, (=50:50) וודאי שאין הגיון לשנות.
זה אותו סיכוי אם נשנה לעומת אם נשאר בבחירה הראשונה.
מה זה משנה לי שהיתה עוד אפשרות שנשללה? כעת האחוזים משוקללים מחדש ביתר חיזוק לבחירה הראשונית (מה שבטוח שהסיכויים שלה רק גדלו ולא קטנו, כי עז אחת נמצאה)

 

[אריאל וו]

ברגע שידוע לנו שנותרו רק 2 דלתות: אחת שמובילה לעז ושניה שמובילה למכונית, (=50:50) וודאי שאין הגיון לשנות.
זה אותו סיכוי אם נשנה לעומת אם נשאר בבחירה הראשונה.
מה זה משנה לי שהיתה עוד אפשרות שנשללה? כעת האחוזים משוקללים מחדש ביתר חיזוק לבחירה הראשונית (מה שבטוח שהסיכויים שלה רק גדלו ולא קטנו, כי עז אחת נמצאה)

זה מוזר, אבל למעשה כדי להגדיל את הסיכויים צריך להחליף את הבחירה המקורית.
לקח לי זמן לקלוט למה, אבל זה עובד ככה:
ברגע שבחרת דלת 1 מ-3, יצרת למעשה שתי קבוצות: הדלת שלך, וכל שאר הדלתות.
הסיכוי שהמכונית מאחורי הדלת שבחרת היא 1/3. והסיכוי שהיא מאחורי דלת בקבוצה השנייה היא 2/3.
עכשיו בא המנחה ומקטין את הקבוצה השנייה, אבל הסיכוי שהמכונית מאחורי דלת בקבוצה השנייה נותר כמו שהוא: 2/3. אבל כעת נותרה רק דלת אחת בקבוצה השנייה, אז הסיכוי ששם המכונית נותרה 2/3.
לכן יש לנו דלת עם סיכוי של 1/3 (הדלת שבחרת) ודלת אחת עם סיכוי של 2/3, הדלת האחרת.
לכן, עדיף דווקא לבחור את הדלת האחרת.

אולי קל יותר לדמיין את זה עם 1000 דלתות. אתה בוחר דלת אחת, והסיכוי ששם המכונית הוא 1/1000. הסיכוי שהמכונית בקבוצה השנייה הוא 999/1000 (כמעט וודאות). עכשיו המנחה פותח 998 דלתות מהקבוצה השנייה ונותרה רק דלת 1 מהקבוצה השנייה. לכן הסיכוי שהמכונית שם נותר 999/1000. אתה חייב להחליף את הבחירה שלך כמעט בוודאות. תהיה מאוד ביש מזל אם המכונית לא שם!

 

[אליהו פ]

ברור שלא יחליף.
כי מראש כשהוא בחר בדלת הימנית הוא יצר 2 קבוצות.
שלדעתו היחס ביניהם שווה כלומר כל קבוצה 50 אחוז, ובגלל זה הוא הימר על קבוצה אחת. אע”פ שבקבוצה השניה יש 2 דלתות.
ועכשיו כשפתחו דלת אחת בקבוצה השניה והראו לו ששם אין מכונית, הורידו את הסיכויים של הקבוצה השניה בחצי, כלומר שיש לדלת שלו כרגע 50 אחוז מול 25 אחוז בלבד לדלת השמאלית.
איזה בן אדם שפוי ירצה להחליף?!

 

[מגנום]

זה לא משנה אם יחליף או לא, (במידה ולפי חוקי המשחק המנחה פותח דלת עם עז)
הסיכוי לעז/מכונית מאחורי 2 הדלתות הנותרות זהה.
זה שפתחו דלת ויש כאן דיונים פסיכולוגיים זה לא משנה
יש כרגע במצב הנתון 2 דלתות
באחת יש עז, באחת מכונית.
הסיכוי הוא 50-50
לא רואה שום סיבה ליתרון של דלת אחת על פני השניה.

 

[מגנום]

זה מוזר, אבל למעשה כדי להגדיל את הסיכויים צריך להחליף את הבחירה המקורית.
לקח לי זמן לקלוט למה, אבל זה עובד ככה:
ברגע שבחרת דלת 1 מ-3, יצרת למעשה שתי קבוצות: הדלת שלך, וכל שאר הדלתות.
הסיכוי שהמכונית מאחורי הדלת שבחרת היא 1/3. והסיכוי שהיא מאחורי דלת בקבוצה השנייה היא 2/3.
עכשיו בא המנחה ומקטין את הקבוצה השנייה, אבל הסיכוי שהמכונית מאחורי דלת בקבוצה השנייה נותר כמו שהוא: 2/3. אבל כעת נותרה רק דלת אחת בקבוצה השנייה, אז הסיכוי ששם המכונית נותרה 2/3.

לא.
הסיכוי של הקבוצה השניה לאחר פתיחת הדלת יורד לשליש.

לכן יש לנו דלת עם סיכוי של 1/3 (הדלת שבחרת) ודלת אחת עם סיכוי של 2/3, הדלת האחרת.
לכן, עדיף דווקא לבחור את הדלת האחרת.

אולי קל יותר לדמיין את זה עם 1000 דלתות. אתה בוחר דלת אחת, והסיכוי ששם המכונית הוא 1/1000. הסיכוי שהמכונית בקבוצה השנייה הוא 999/1000 (כמעט וודאות). עכשיו המנחה פותח 998 דלתות מהקבוצה השנייה ונותרה רק דלת 1 מהקבוצה השנייה. לכן הסיכוי שהמכונית שם נותר 999/1000. אתה חייב להחליף את הבחירה שלך כמעט בוודאות. תהיה מאוד ביש מזל אם המכונית לא שם!

וכן גם אם פתחו 998 דלתות ונשארה דלת אחת, מול הדלת האחת שכבר בחרתי - אני לא אחליף,
כי לפי הסתברות הסיכוי של שתיהן הוא אותו סיכוי בדיוק! 1/1000

 

[SRW]

ועכשיו כשפתחו דלת אחת בקבוצה השניה והראו לו ששם אין מכונית, הורידו את הסיכויים של הקבוצה השניה בחצי, כלומר שיש לדלת שלו כרגע 50 אחוז מול 25 אחוז בלבד לדלת השמאלית.

הסיכוי של הקבוצה השניה לאחר פתיחת הדלת יורד לשליש.

יש לזכור שסך הסיכויים חייב להיות אחד, כלומר 100%. אם יש קבוצה אחת עם 50% ואחת עם 25%, או שתי קבוצות עם שליש לכל אחת, אנחנו בבעיה.

 

[אליהו פ]

יש לזכור שסך הסיכויים חייב להיות אחד, כלומר 100%. אם יש קבוצה אחת עם 50% ואחת עם 25%, או שתי קבוצות עם שליש לכל אחת, אנחנו בבעיה.

כוונתי, לאחוזים הראשוניים.
וביחס לעכשיו זה 66% לקבוצה שלי ו33% לקבוצה השניה.

 

[SRW]

כוונתי, לאחוזים הראשוניים.
וביחס לעכשיו זה 66% לקבוצה שלי ו33% לקבוצה השניה.

זה וודאי לא נכון, גם לשיטה (שנראית לי מוטעית) שאין יתרון בקבוצה שבה פתח המנחה את הדלת. בכל מקרה אין סיבה שההסתברות תתמעט בקבוצה זו, בהסתמך על מספר הפריטים בקבוצה.

 

[אליהו פ]

זה וודאי לא נכון, גם לשיטה (שנראית לי מוטעית) שאין יתרון בקבוצה שבה פתח המנחה את הדלת. בכל מקרה אין סיבה שההסתברות תתמעט בקבוצה זו, בהסתמך על מספר הפריטים בקבוצה.

על פי כל ההסברים שנכתבו כאן שיש קבוצה שעולים לה הסיכויים ברגע שדלת אחת נפתחת, אין שום סיבה שלא יתמעטו הסיכויים בדיוק בחצי מכמה שהיה מראש ברגע שבחרתי קבוצה מסוימת.

 

[SRW]

על פי כל ההסברים שנכתבו כאן שיש קבוצה שעולים לה הסיכויים ברגע שדלת אחת נפתחת, אין שום סיבה שלא יתמעטו הסיכויים בדיוק בחצי מכמה שהיה מראש ברגע שבחרתי קבוצה מסוימת.

לא, זה בדיוק העניין.
הסיכויים של כל קבוצה נשארים כמות שהיו.
רק שכרגע ברור לנו, מתוך הקבוצה שבה שתי דלתות, איזו מן הדלתות ודאי אינה המכונית, כך שהסיכויים של קבוצה זו מתרכזים כעת בדלת השנייה, שלא נפתחה.
אבל הסיכויים של כל קבוצה לא השתנו כלל.

 

[אליהו פ]

אבל הסיכויים של כל קבוצה לא השתנו כלל.

גם לדעתך, הסיכוי של הקבוצה השניה היה בהתחלה 66 אחוז וכרגע הם רק 50 אחוז.

 

[מגנום]

יש לזכור שסך הסיכויים חייב להיות אחד, כלומר 100%. אם יש קבוצה אחת עם 50% ואחת עם 25%, או שתי קבוצות עם שליש לכל אחת, אנחנו בבעיה.

במחשבה נוספת השתכנעתי שכן כדאי לו להחליף. כי:
אם הוא בחר מראש מכונית, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו (לאחר פתיחת דלת ע"י המנחה) לקבל עז.
אם בחר מראש עז, שינוי הבחירה יגרום לו תמיד (לאחר פתיחת הדלת) לקבל מכונית.
ההסתברות מראש לבחור בעז היא יותר גדולה כי יש 2 עיזים ומכונית אחת. ולכן שינוי הבחירה הוא הסתברות יותר גדולה לקבל את המכונית.

 

[SRW]

גם לדעתך, הסיכוי של הקבוצה השניה היה בהתחלה 66 אחוז וכרגע הם רק 50 אחוז.

לגמרי לא, לא ברור לי איך דבריי הובנו כך.

 

[אליהו פ]

לגמרי לא, לא ברור לי איך דבריי הובנו כך.

כך אני הבנתי.
מתנצל שלא הבנתי נכון!
לדעתך, כמה היו הסיכויים של כל קבוצה מראש (כשקבוצה א’ היו 2 דלתות ובשניה דלת א’), וכמה הסיכויים כעת של כל קבוצה.

 

[SRW]

בקבוצה בת שתי הדלתות הסיכוי היה 2/3 בתחילה, ונשאר כך גם בסוף.
בקבוצה עם הדלת הבודדה הסיכוי היה 1/3 בתחילה, ונשאר כך גם בסוף.

 

[אוזן שומעת]

הכל אשליה אחת גדולה, וכמו שכתבו כל מי שלמד פעם רוב יודע שבמציאות עכשיו יש אותו סיכוי בכל דלת.
לא השתנה שום דבר ע"י פתיחת הדלת רק השתנו הסיכויים מ33 ל50 אחוז

 

[מתן מאור]

לאחר שהמנחה פתח דלת שמאחוריה יש עז והציע להחליף את הבחירה המקורית, ישנן שתי אפשרויות.

1. שהמשתתף בחר את הדלת שמאחוריה המכונית ואז אם הוא יחליף הוא יפסיד.
2. שהמשתתף בחר דלת שמאחוריה יש עז ואז אם הוא יחליף הוא ירוויח.

הסיכוי לתרחיש הראשון הוא 1/3 ולתרחיש השני 2/3 ועל כן בוודאי שהוא צריך להחליף.