חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[בנימין41]

ברור שעדיף להחליף.
הסיכוי שהמתנה בדלת שפתחתי מראש הוא1 מתוך 3
ואילו הסיכוי שהדלת שהמנחה מציע הוא 2 מתוך 3
המנחה פתח את הדלת משום שידע שש שם עז.
ממילא חישוב הסיכויים.
דלת 1. הדלת שבחרתי לראשונה. סיכוייה 1 מתוך 3.
במידה ודלת 2 או שלוש הכילו את המתנה, שווה לי להחליף.

 

[אבא1234]

זה נכון.
אבל כרגע זה "חמישים חמישים"

אם ניקח את החידה ל10 דלתות,
הוא בחר באחד, והמנחה הצביע על שמונה דלתות שזה לא שם,
נשארו שניים.
מה יותר סיכוי?
ברור שלהחליף.
ה"ה כאן

 

[אנה מפניך אברח?]

אבל גם כשהוא בחר את הימנית הוא בעצם אומר
"אני חושב שהימנית זה רכב והשניים האחרים זה עז"
ואם כן אז שכוייח גדול שהוא גילה לו, זה מה שהוא אמר, ואז לכאורה לא משתנית הסטטיסטיקה
לא? @אבא1234

 

[אבא1234]

אבל גם כשהוא בחר את הימנית הוא בעצם אומר
"אני חושב שהימנית זה רכב והשניים האחרים זה עז"
ואם כן אז שכוייח גדול שהוא גילה לו, זה מה שהוא אמר, ואז לכאורה לא משתנית הסטטיסטיקה
לא?

כשהוא בוחר את הימנית הוא לא יודע שבוודאי זה שם, אלא לוקח ריזיקה של 33 אחוז.
והוא יודע גם ש 66 אחוז הוא טועה וזה בדלתות האחרות,
לאחר שהמנחה פתח את הדלת השנייה, נוצר בפניו "פתח" לפתוח דלת של 66 אחוז, (שזה הדלת השנייה)

 

[SRW]

נראה שכדאי לשנות את בחירתו.
מלכתחילה, יש יותר סיכוי שהמשתתף בחר בדלת שמאחוריה עז - סיכוי של 2:1. לכן, בלי קשר לכך שהמנחה פתח דלת, הוא עדיין יכול להמר על כך שהוא נמצא מול דלת שמאחוריה עז.
לכן, במקרה שבו שינוי בבחירת הדלת תיתן את התוצאה השנייה, עדיף לעשות את השינוי - וכך, בהסתברות גבוהה יותר, לפתוח את הדלת שמאחוריה המכונית.

 

[ראובן שפירא]

אגב, המיקוד של השאלה סביב ידיעתו או אי ידיעתו של המנחה שגוי. השאלה נכונה גם במידה והמנחה לא ידע מראש על התוצאה שתתגלה מאחורי הדלת שהוא פתח, אכן יש לדון על זה בנפרד, כי זה כן יכול להשפיע במידת מה.

בעיקרון התשובה הנכונה היא שעדיף להחליף דלת, זה ברור מצד 'דיני' הסטטיסטיקה.

כשהוא בחר את הדלת הראשונה, נניח דלת מס' 1, היו לו 33 סיכויי הצלחה.

אחרי שהמנחה פתח דלת והתברר שהיה מאחוריה עז עולה כי באחת משתי הדלתות האחרות יש את המכונית. ממילא בין שתי הדלתות האחרות נשארו סיכויים של 50-50, ולא כמו שהיה בהתחלה, 33%. לכן עדיף להחליף דלת.

 

[ynigun]

יש סיכוי סביר שהאחרון הוא הזוכה.

למה יותר מהכרטיס השני שלא נפתח?
לשניהם היה הסתברות שווה של 1/10000 לזכיה ועכשיו יש הסתברות של 1/2
למה שהבעלות על הכרטיסים תשנה משהו?

 

[מגנום]

יש לזכור שסך הסיכויים חייב להיות אחד, כלומר 100%. אם יש קבוצה אחת עם 50% ואחת עם 25%, או שתי קבוצות עם שליש לכל אחת, אנחנו בבעיה.

במחשבה נוספת השתכנעתי שכן כדאי לו להחליף. כי:
אם הוא בחר מראש מכונית, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו (לאחר פתיחת דלת ע"י המנחה) לקבל עז.
אם בחר מראש עז, שינוי הבחירה יגרום לו תמיד (לאחר פתיחת הדלת) לקבל מכונית.
ההסתברות מראש לבחור בעז היא יותר גדולה כי יש 2 עיזים ומכונית אחת. ולכן שינוי הבחירה הוא הסתברות יותר גדולה לקבל את המכונית.

 

[אריאל וו]

כדי לסבר את האוזן, בא נקצין עוד יותר.
יש 50 מיליון דלתות.
אתה בוחר אחת מהן. כמעט בוודאות מוחלטת בחרת עז.
המכונית נמצאת מאוחרי אחת משאר הדלתות, כמעט בוודאות מוחלטת.
עכשיו בא המנחה, ומסלק 49,999,998 מהמשחק שכולם יש מאחוריהן עז, לא כולל הדלת שלך, שהוא לא התייחס אליה.
אז או שבפוקס ענק וכמעט בלתי אפשרי אתה בחרת את הדלת הנכונה מתוך 50,000,000 דלתות, או שהעז מאחורי הדלת השנייה!
כמובן שאתה חייב להחליף את הבחירה שלך.

 

[אליהו פ]

הטענה המקורית נכונה. אכן, בפעם העשירית ההסתברות הוא עדיין 50/50 כי הסטטיסטיקה היא 50/50.
לעומת זאת אם יש לי קובייה בעלת שש פאות אז יש סיכוי של 1/6 שהיא תיפול על המספר 6 אם הטלתי את הקובייה תשע פעמים והיא נפלה בכל פעם על הספרה 6 מה הסיכוי שבפעם העשירית היא תיפול על 6? עדיין 1/6 ולא 50/50 כי ההסברות למקרה הבא - זהה לסטטיסטיקה.
כן הוא כאן, אם הסטטיסטיקה לזכייה במקרה של החלפת הדלת היא 66/33 אז בכל מקרה יחיד הסיכוי שאני אזכה אם אחליף את הדלת הוא 66 - כי זאת הסטטיסטיקה ולא 50/50.

(כשהמורה בתלמוד תורה אמר שצריך ללמוד חשבון כדי להבין גמרא הוא אולי לא ידע עד כמה, אבל העיוות שנוצר מהשילוב בין חוסר ידיעה לבין עיון עמוק בסוגיות רוב שבש"ס - פשוט בולט לעין)

כאן ברגע שדלת אחת נפתחה כבר ונשארו רק 2, הסיכוי בין אם אחליף ובין אם לא זה 50/50.
החישוב הוא כנגד הסיכוי שיש לי כרגע.
והבאת לי בדיוק 2 דוגמאות נפלאות.
במטבע אחרי שזרקתי 9 פעמים, בפעם העשירית יש לי סיכוי 50/50 כי זה מה שיש מולי כרגע.
וכן בקוביה הסיכוי הוא 1/6 כי זה האופציות שיש לי כרגע!

 

[אריאל וו]

יסלחו לי רבותי, מההתחלה היו לכל דלת 50 אחוזים מלאים!!!

???
אם יש מיליון דלתות, הסיכוי לכל דלת הוא 50%? מה פתאום, הסיכוי לכל דלת הוא 1 מתוך מיליון, ז״א שכמעט בוודאות ייצא לך עז כשתבחר דלת אחת.

 

[אריאל וו]

אוכל בבקשה לקבל נימוק לקביעה זו?

אין חכם כבעל הניסיון. קח 10 קלפים, ביניהם ג׳וקר אחד, פרוס אותם על השולחן. בחר אחד בלי להסתכל עליו. מבין 9 הקלפים הנותרים, סלק 8 (וודא שהם לא כוללים את הג׳וקר. אם כן החזר אותו והוצא קלף אחר מבין ה-9 שלא בחרת*). כעת נותרו 2 קלפים על השולחן, זה שבחרת בהתחלה, וההוא שבא מהקבוצה של 9. השאלה, אם כדאי לך להמשיך עם הבחירה המקורית או לא. ותתוודע לראות שב-9 מתוך 10 פעמים, הג׳וקר הוא דווקא לא הקלף שבחרת, אלא השני! הפלא ופלא!
______
* כמדוני שזה הפתרון לכל התעלומה!

 

[SRW]

כל המושג סטטיסטיקה בנוי על מספר האפשרויות שלפנינו

כי הסיכוי שסטטיסטיקה תעבוד אינו עומד במבחן הסטטיסטיקה...

האחוזים והסטטיסטיקה אינם נתונים, הם סך הכל כלים לשכלול וחישוב הנתונים שלפנינו, אם השתנו הנתונים [דלת אחת נפתחה] חישובי הנתונים מתחילים מחדש.

שוב אשאל: האם למדת פעם סטטיסטיקה?
כי נראה שיש כאן חוסר הבנה בסיסי בהגדרת המושג, וכן חוסר חילוק בין המושגים "סטטיסטיקה" ו"הסתברות", שעל אף שהם קשורים - השאלה לעיל עוסקת בהסתברות, אז קצת מוזר לדבר (או לנסות לדבר) כל הזמן במונחים של סטטיסטיקה.

הבה נתאר לעצמנו את הסיפור בעולם גמיש יותר...
מיודענו עדיין לא החליט באיזו דלת לבחור, והנה בא המנחה הנדיב ופותח דלת אחת והנה מאחוריה פועה עז.
יבוא החכם וימליץ לשחקן, ראה, אם נטית יותר לבחור בדלת א', הרי שכדאי לך להמיר את הבחירה לדלת ב', אם נטיית ליבך היתה יותר לכיון דלת ב', הרי שמירב הסיכויים עברו לדלת א', אכן אם בכלל התכוונת לבחור בדלת ג', זו שנפתחה, הרי שסיכוייהם של דלתות א' ו-ב' זהים ואמליץ לך על גורל אן דן דינו...

הדוגמא שהבאת מעידה על אי הבנת הדוגמא המקורית לעומק. המשמעות של הבחירה הראשונית בבעיה המקורית היא שאת הדלת הזו המנחה בוודאי לא יפתח, ויש לשקלל נתון זה בבואנו לפתור את הבעיה.
כאן התעלמת מנתון זה לחלוטין, ולכן אין קשר בין הדוגמא לבין הבעיה המקורית.

 

[עטלף]

רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה האדם לא יודע?

 

[יחזקאל הגאון]

מה האדם לא יודע?

הוא לא יודע שהכללים הם שהמנחה צריך לגלות לו מה יש מאחורי אחד הדלתות...

 

[אסתר פ]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?

להמשיך למה שחשב מלכתחילה

 

[עטלף]

הוא לא יודע שהכללים הם שהמנחה צריך לגלות לו מה יש מאחורי אחד הדלתות...

הוא יודע שלמנחה אין שום אינטרס האם הוא יזכה או לא יזכה?

 

[יחזקאל הגאון]

אנחנו שיודעים את כללי המשחק ברור לנו שאין שום הבדל
המתמודד שלא יודע את כללי המשחק, צריך לשאול את עצמו: למה המנחה נתן לי עוד הזדמנות לשנות את החלטתי?
כנראה שיש לו אינטרס שאני ישנה את החלטתי, כנראה שאותו אינטרס זה: לנסות לשנות את הבחירה שלי לדלת השניה וכך להרוויח לבעלי הערוץ את הרכב בשבילם.
לא כך? @יחזקאל הגאון

א. גם לנו, ודווקא לנו צריך להיות הבדל
ב. אולי המנחה בכלל שונא את רשות השידור כי הם איחרו לו את המשכורת ולכן הוא רוצה לדפוק אותם

 

[יחזקאל הגאון]

הוא יודע שלמנחה אין שום אינטרס האם הוא יזכה או לא יזכה?

זה לא משנה כי השאלה היא מה אתה ממליץ לו לבחור