חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[אליהו פ]

ולצד ב’: לא מעניין אותי אף פעם מה היה קודם. אני תמיד מסתכל ברגע זה, ומכיון שברגע זה יש לי 2 דלתות בלבד - זה אומר שהסיכוי של כל דלת זה בדיוק 50 אחוז.
ולא משנה אם בהתחלה היו 2 דלתות או 3 או מליון.

אבל אתה הרי יודע בוודאות של 99/100 שהמכונית נמצאת בקבוצה השנייה. מה זה משנה מה שהמנחה עושה עם אותה קבוצה? הוא סה"כ ציין איפה, בקבוצה השנייה, לא נמצאת המכונית.

אין לדיין אלא מה שעיניו רואות...

 

[Shalom.M]

בסוף הכי פרקטי זה לצבוט את העז שבדלת האמצעית ואז לשמוע את העז שבחדר השני פועה בבכי מה שנקרא לחלוב מידע מהעז....

 

[SRW]

לפי התשובה פה אז ההסתברות היא שהרכב נמצא מאחורי דלת 3,
עכשיו נניח שהתכנית עובדת בצורה בה יש שני מתמודדים שלא יודעים כ"א על בחירת השני [מבחינתם יתכן שבחרו באותה הדלת]
והמנחה פתח את דלת מספר 2,
מתמודד אחד בחר דלת 1 ומתמודד שני בחר דלת 3,
לפי החישובים פה הייתם ממליצים לכל אחד בפני עצמו לשנות את בחירתו...
אז איפה מירב הסיכויים?!

שינית את נתוני הבעיה, וממילא התשובה שונה. עניתי על זה למישהו שטען מקודם טענה דומה, מוזמן לחפש.

 

[מתן מאור]

במשחק העץ או פלי כשאתה מטיל מטבע 10 פעמים הסטטיסטיקה אומרת ש5 פעמים היא תיפול על העץ ו5 על הפלי ולמרות זאת כשמטבע נופלת 9 פעמים על העץ ברצף מה הסיכוי שתיפול על הפלי בפעם העשירית...? 50/50..
ולא 50 אחוז שתיפול על הפלי לעומת 0 לעץ
הוי אומר שגם אם השתמשת ב 50 אחוז של העץ ויותר ..עדיין בפעם האחרונה הסיכויים שווים..כי כל הטלת מטבע היא בפני עצמה ולא מתייחסת להעלות קודמות
ולכן גם אם הדלת השמאלית והאמצעית היה להם 66 אחוז כשנשללה הדלת האמצעית כאופציה השמאלית לא קבלה את האחוזים של האמצעית אלא נוצרה חלוקה שווה ...
וללמדנים עיינו ערך " כל קבוע כמחצה על מחצה דמי "...

הטענה המקורית נכונה. אכן, בפעם העשירית ההסתברות הוא עדיין 50/50 כי הסטטיסטיקה היא 50/50.
לעומת זאת אם יש לי קובייה בעלת שש פאות אז יש סיכוי של 1/6 שהיא תיפול על המספר 6 אם הטלתי את הקובייה תשע פעמים והיא נפלה בכל פעם על הספרה 6 מה הסיכוי שבפעם העשירית היא תיפול על 6? עדיין 1/6 ולא 50/50 כי ההסברות למקרה הבא - זהה לסטטיסטיקה.
כן הוא כאן, אם הסטטיסטיקה לזכייה במקרה של החלפת הדלת היא 66/33 אז בכל מקרה יחיד הסיכוי שאני אזכה אם אחליף את הדלת הוא 66 - כי זאת הסטטיסטיקה ולא 50/50.

(כשהמורה בתלמוד תורה אמר שצריך ללמוד חשבון כדי להבין גמרא הוא אולי לא ידע עד כמה, אבל העיוות שנוצר מהשילוב בין חוסר ידיעה לבין עיון עמוק בסוגיות רוב שבש"ס - פשוט בולט לעין)

 

[אליהו פ]

הטענה המקורית נכונה. אכן, בפעם העשירית ההסתברות הוא עדיין 50/50 כי הסטטיסטיקה היא 50/50.
לעומת זאת אם יש לי קובייה בעלת שש פאות אז יש סיכוי של 1/6 שהיא תיפול על המספר 6 אם הטלתי את הקובייה תשע פעמים והיא נפלה בכל פעם על הספרה 6 מה הסיכוי שבפעם העשירית היא תיפול על 6? עדיין 1/6 ולא 50/50 כי ההסברות למקרה הבא - זהה לסטטיסטיקה.
כן הוא כאן, אם הסטטיסטיקה לזכייה במקרה של החלפת הדלת היא 66/33 אז בכל מקרה יחיד הסיכוי שאני אזכה אם אחליף את הדלת הוא 66 - כי זאת הסטטיסטיקה ולא 50/50.

(כשהמורה בתלמוד תורה אמר שצריך ללמוד חשבון כדי להבין גמרא הוא אולי לא ידע עד כמה, אבל העיוות שנוצר מהשילוב בין חוסר ידיעה לבין עיון עמוק בסוגיות רוב שבש"ס - פשוט בולט לעין)

כאן ברגע שדלת אחת נפתחה כבר ונשארו רק 2, הסיכוי בין אם אחליף ובין אם לא זה 50/50.
החישוב הוא כנגד הסיכוי שיש לי כרגע.
והבאת לי בדיוק 2 דוגמאות נפלאות.
במטבע אחרי שזרקתי 9 פעמים, בפעם העשירית יש לי סיכוי 50/50 כי זה מה שיש מולי כרגע.
וכן בקוביה הסיכוי הוא 1/6 כי זה האופציות שיש לי כרגע!

 

[שמעון שפירא]

יסלחו לי רבותי, מההתחלה היו לכל דלת 50 אחוזים מלאים!!!
נראה תמוה?
למעשה כשהאדם בוחר דלת, כעת כבר לא מעניין אותו מה יש מאחורי הדלתות האחרות, הוא שואל את עצמו, מאחורי דלת זו יש רכב או אין רכב [הוא לא שואל האם יש שם עז א', עז ב' או רכב, כי זה לא מעניין אותו אם יקבל את עז א' או ב', הוא דן רק לגבי הרכב]. התשובה על שאלה זו היא או כן או לא - 50/50.
מה השתנה כשנפתחה דלת? זה לא נתן לו מידע נוסף על הדלת 'שלו', הסיכויים נותרו 50/50 כפי שהיו לפני כן. זה נכון גם ל-100 דלתות וגם ל-100,000 דלתות. אחרי שבחר דלת מסוימת לא התחדש לו אף בדל מידע על דלת זו.
וזה בעצם ההיגיון העומד מאחרי 'כל קבוע כמחצה על מחצה', שהרי לא משנה לך מה קורה במקומות אחרים, אתה רוצה לדעת האם הבית שאתה עומד להיכנס אליו טהור או לא וכדומה, ולא באמת משנה לך האם רוב הבתים טהורים.

 

[אריאל וו]

כאן ברגע שדלת אחת נפתחה כבר ונשארו רק 2, הסיכוי בין אם אחליף ובין אם לא זה 50/50.
החישוב הוא כנגד הסיכוי שיש לי כרגע.
והבאת לי בדיוק 2 דוגמאות נפלאות.
במטבע אחרי שזרקתי 9 פעמים, בפעם העשירית יש לי סיכוי 50/50 כי זה מה שיש מולי כרגע.
וכן בקוביה הסיכוי הוא 1/6 כי זה האופציות שיש לי כרגע!

שתי הדלתות שנשארו הם לא שווים, כאן הטעות שלך.
תאר לך שיש רק 2 דלתות. אתה בוחר אחת, ובא מונטי הול ואומר לך, ״ידידי, המכונית נמצאת כמעט בוודאות מוחלטת מאחורי הדלת השנייה.״
אז הנה דוגמה של 2 דלתות, אבל בגלל המשפט שאמרו לך, אתה יודע כמעט בוודאות איפה המכונית, ושכדאי לך להחליף את הבחירה.
לעומת זאת, חבר שלך שייכנס כעת למשחק ולא שמע את מה שאמר מונטי הול, מבחינתו שתי הדלתות שווים. אבל לא מבחינתך.
פארשטייט?

 

[אריאל וו]

וזה בעצם ההיגיון העומד מאחרי 'כל קבוע כמחצה על מחצה'.

נקווה מאוד שזה לא ההיגיון שעומד מאחורי זה, כי ההיגיון (אם אמנם מדובר באותו מקרה בדיוק של מונטי הול) איננו נכון.

 

[אריאל וו]

יסלחו לי רבותי, מההתחלה היו לכל דלת 50 אחוזים מלאים!!!

???
אם יש מיליון דלתות, הסיכוי לכל דלת הוא 50%? מה פתאום, הסיכוי לכל דלת הוא 1 מתוך מיליון, ז״א שכמעט בוודאות ייצא לך עז כשתבחר דלת אחת.

 

[שמעון שפירא]

אוכל בבקשה לקבל נימוק לקביעה זו?

נקווה מאוד שזה לא ההיגיון שעומד מאחורי זה, כי ההיגיון (אם אמנם מדובר באותו מקרה בדיוק של מונטי הול) איננו נכון.

 

[שמעון שפירא]

???
אם יש מיליון דלתות, הסיכוי לכל דלת הוא 50%? מה פתאום, הסיכוי לכל דלת הוא 1 מתוך מיליון, ז״א שכמעט בוודאות ייצא לך עז כשתבחר דלת אחת.

זה היה עד שבחרתי דלת, אחרי שבחרתי כבר לא משנה לי מה יהיה מאחורי הדלת אם זה לא מכונית, לכן יש כאן רק שתי אפשרויות, מכונית או לא.
כשאתה שואל לגבי מכלול הדלתות אז המכונית נמצאת באחת מתוך מיליון [או אחת מתוך שלוש בדוגמה המקורית], אבל כשאתה שואל לגבי דלת זו התשובה היא 50/50.

 

[שמעון שפירא]

שתי הדלתות שנשארו הם לא שווים, כאן הטעות שלך.
תאר לך שיש רק 2 דלתות. אתה בוחר אחת, ובא מונטי הול ואומר לך, ״ידידי, המכונית נמצאת כמעט בוודאות מוחלטת מאחורי הדלת השנייה.״
אז הנה דוגמה של 2 דלתות, אבל בגלל המשפט שאמרו לך, אתה יודע כמעט בוודאות איפה המכונית, ושכדאי לך להחליף את הבחירה.
לעומת זאת, חבר שלך שייכנס כעת למשחק ולא שמע את מה שאמר מונטי הול, מבחינתו שתי הדלתות שווים. אבל לא מבחינתך.
פארשטייט?

מונטי הול לא אמר לי כזה דבר, הוא רק אמר שכאן, בדלת שנפתחה, לא נמצאת המכונית [ואת זה יודע גם מי שנכנס לחדר הרגע].
הסטטיסטיקה אינה נתון אלא כלי לשכלול הנתונים, כשהנתונים משתנים גם הסטטיסטיקה משתנה.

 

[SRW]

זה היה עד שבחרתי דלת, אחרי שבחרתי כבר לא משנה לי מה יהיה מאחורי הדלת אם זה לא מכונית, לכן יש כאן רק שתי אפשרויות, מכונית או לא.
כשאתה שואל לגבי מכלול הדלתות אז המכונית נמצאת באחת מתוך מיליון [או אחת מתוך שלוש בדוגמה המקורית], אבל כשאתה שואל לגבי דלת זו התשובה היא 50/50.

וואו, לגמרי לא.
לא בכל מקרה שבו יש שתי אפשרויות, הסיכוי ביניהן חייב להיות שווה.
"או-או" אינה מילה נרדפת ל"חמישים-חמישים".
גם מקרה של "אחד-תשעים ותשע" הוא מקרה של "או-או", למרות שהסיכויים להתרחשויות אינם שווים.

 

[אריאל וו]

אוכל בבקשה לקבל נימוק לקביעה זו?

אין חכם כבעל הניסיון. קח 10 קלפים, ביניהם ג׳וקר אחד, פרוס אותם על השולחן. בחר אחד בלי להסתכל עליו. מבין 9 הקלפים הנותרים, סלק 8 (וודא שהם לא כוללים את הג׳וקר. אם כן החזר אותו והוצא קלף אחר מבין ה-9 שלא בחרת*). כעת נותרו 2 קלפים על השולחן, זה שבחרת בהתחלה, וההוא שבא מהקבוצה של 9. השאלה, אם כדאי לך להמשיך עם הבחירה המקורית או לא. ותתוודע לראות שב-9 מתוך 10 פעמים, הג׳וקר הוא דווקא לא הקלף שבחרת, אלא השני! הפלא ופלא!
______
* כמדוני שזה הפתרון לכל התעלומה!

 

[חולם על חופשה]

יסלחו לי רבותי, מההתחלה היו לכל דלת 50 אחוזים מלאים!!!
נראה תמוה?
למעשה כשהאדם בוחר דלת, כעת כבר לא מעניין אותו מה יש מאחורי הדלתות האחרות, הוא שואל את עצמו, מאחורי דלת זו יש רכב או אין רכב [הוא לא שואל האם יש שם עז א', עז ב' או רכב, כי זה לא מעניין אותו אם יקבל את עז א' או ב', הוא דן רק לגבי הרכב]. התשובה על שאלה זו היא או כן או לא - 50/50.
מה השתנה כשנפתחה דלת? זה לא נתן לו מידע נוסף על הדלת 'שלו', הסיכויים נותרו 50/50 כפי שהיו לפני כן. זה נכון גם ל-100 דלתות וגם ל-100,000 דלתות. אחרי שבחר דלת מסוימת לא התחדש לו אף בדל מידע על דלת זו.
וזה בעצם ההיגיון העומד מאחרי 'כל קבוע כמחצה על מחצה', שהרי לא משנה לך מה קורה במקומות אחרים, אתה רוצה לדעת האם הבית שאתה עומד להיכנס אליו טהור או לא וכדומה, ולא באמת משנה לך האם רוב הבתים טהורים.

כשהוא בוחר את הימנית הוא לא יודע שבוודאי זה שם, אלא לוקח ריזיקה של 33 אחוז.
והוא יודע גם ש 66 אחוז הוא טועה וזה בדלתות האחרות,
לאחר שהמנחה פתח את הדלת השנייה, נוצר בפניו "פתח" לפתוח דלת של 66 אחוז, (שזה הדלת השנייה)

 

[פינחס רוזנצוויג]

השאלה הבסיסית היא:
האם יש חילוק בין המשתתף במשחק שכבר הצביע על דלת אחת, לבין אדם שהגיע אחרי שמונטי פתח את הדלת.
כי אדם שהגיע אחרי שמונטי פתח את הדלת בודאי שהסיכוי שלו שווה לכל דלת, השאלה היא האם למשתתף במשחק שכבר פתח דלת אחת, יש לו איזה מידע יתר, שיגרום לו לבחור דוקא בדלת השניה.
המידע שנוסף לשחקן שהצביע על הדלת הראשונה הוא, שהוא יודע בודאות שאם הדלת שהוא בחר בה היא אינה הנכונה, אם כן הדלת השניה היא ודאי הנכונה. מי שלא יודע על הדלת שעליה הצביע השחקן הראשון, כמובן שאין לו מידע איזה דלת נבחרה וכך שאינו יודע מה היא הדלת השניה שבודאות יש מאחוריה מכונית, אם מאחורי הראשונה אין מכונית.
וכיון שיש 33 אחוז שהדלת הראשונה היתה המכונית, אם כן יש ודאות של 66 אחוז שהדלת השניה יש בה את המכונית.

 

[שמעון שפירא]

וואו, לגמרי לא.
לא בכל מקרה שבו יש שתי אפשרויות, הסיכוי ביניהן חייב להיות שווה.
"או-או" אינה מילה נרדפת ל"חמישים-חמישים".
גם מקרה של "אחד-תשעים ותשע" הוא מקרה של "או-או", למרות שהסיכויים להתרחשויות אינם שווים.

לא ולא.
כל המושג סטטיסטיקה בנוי על מספר האפשרויות שלפנינו, וכשאומרים שיש לסיטואציה מסויימת 33% הרי שהיא אחת מתוך שלוש אפשרויות. גם במקרה שלפנינו יש שלוש תשובות אפשריות לשאלה 'היכן הרכב', או שהרכב בדלת א', או שהרכב בדלת ב', או שהרכב בדלת ג'. כך שלכל דלת יש 33%.
כעת אנו בוחרים דלת אחת ושואלים שאלה אחרת, לא 'היכן הרכב' אלא 'האם הרכב מאחורי דלת זו'. לשאלה זו יש שתי תשובות אפשריות ששתיהן בעלות היתכנות זהה, 'כן' או 'לא'. אין כאן כל גורם אמיתי או הגיוני שהוא היכול לגרום לי לחשוב שהרכב נמצא או לא נמצא מאחורי דלת זו, רמת הידע שלי לגבי נכונותם של כל אחת מהתשובות הללו זהה.
אולי אחדד עוד קצת. אם האמת היא שהרכב נמצא מאחורי דלת זו, זה לא באמת משנה מה רמת הסיכויים שהוא אכן נמצא שם, ולכן כשאני שואל את השאלה לגבי דלת זו בלבד, כמות הסיכויים ל'כן' ול'לא' זהה.

 

[שמעון שפירא]

אין חכם כבעל הניסיון. קח 10 קלפים, ביניהם ג׳וקר אחד, פרוס אותם על השולחן. בחר אחד בלי להסתכל עליו. מבין 9 הקלפים הנותרים, סלק 8 (וודא שהם לא כוללים את הג׳וקר. אם כן החזר אותו והוצא קלף אחר מבין ה-9 שלא בחרת*). כעת נותרו 2 קלפים על השולחן, זה שבחרת בהתחלה, וההוא שבא מהקבוצה של 9. השאלה, אם כדאי לך להמשיך עם הבחירה המקורית או לא. ותתוודע לראות שב-9 מתוך 10 פעמים, הג׳וקר הוא דווקא לא הקלף שבחרת, אלא השני! הפלא ופלא!
______
* כמדוני שזה הפתרון לכל התעלומה!

התיאור שלך לא מדויק, כי הסיכוי שסטטיסטיקה תעבוד אינו עומד במבחן הסטטיסטיקה... אין שום הכרח שיצא הג'וקר פעם אחת בקלף הנבחר ותשע פעמים בקלפים שלא נבחרו. וגם אם באמת זה יקרה שום דבר לא באמת הכריח אותו לשמוע בקול הסטטיסטיקה.
הבה נניח שבחרתי קלף אחד מתוך עשר, ותשע פעמים בזה אחר זה לא יצא לי ג'וקר, האם בפעם העשירית תוכל להבטיח לי שהפעם יצא הג'וקר הגואל? ממש לא, עדיין נשארו 90% שיישאר הג'וקר בין התשע שלא בחרתי.

 

[שמעון שפירא]

השאלה הבסיסית היא:
האם יש חילוק בין המשתתף במשחק שכבר הצביע על דלת אחת, לבין אדם שהגיע אחרי שמונטי פתח את הדלת.
כי אדם שהגיע אחרי שמונטי פתח את הדלת בודאי שהסיכוי שלו שווה לכל דלת, השאלה היא האם למשתתף במשחק שכבר פתח דלת אחת, יש לו איזה מידע יתר, שיגרום לו לבחור דוקא בדלת השניה.
המידע שנוסף לשחקן שהצביע על הדלת הראשונה הוא, שהוא יודע בודאות שאם הדלת שהוא בחר בה היא אינה הנכונה, אם כן הדלת השניה היא ודאי הנכונה. מי שלא יודע על הדלת שעליה הצביע השחקן הראשון, כמובן שאין לו מידע איזה דלת נבחרה וכך שאינו יודע מה היא הדלת השניה שבודאות יש מאחוריה מכונית, אם מאחורי הראשונה אין מכונית.
וכיון שיש 33 אחוז שהדלת הראשונה היתה המכונית, אם כן יש ודאות של 66 אחוז שהדלת השניה יש בה את המכונית.

ברור שהוא יודע, כי אמרו לו שמאחורי אחת הדלתות יש מכונית, וכיון שלפניו יש כעת רק שתי דלתות הרי שאם מאחורי דלת א' אין מכונית הרי שהיא מאחורי דלת ב', ואם מאחורי דלת ב' אין מכונית הרי שהיא מאחורי דלת א', העולה מדברינו, שיש חמישים אחוז לכל דלת.
וגם לראשון יש רק חמישים אחוזים לכל דלת, כי ברגע שנפתחה דלת אחת הרי שהיא 'יצאה מהמשחק', וכעת מחשבים את האחוזים מחדש [זה לא הולך כאן משחק של קבוצות, ואם שחקן אחד פרש הרי שהנקודות שלו מתחלקות בין כל חברי הקבוצה שלו...]. וכפי שכתבתי כבר לעיל, האחוזים והסטטיסטיקה אינם נתונים, הם סך הכל כלים לשכלול וחישוב הנתונים שלפנינו, אם השתנו הנתונים [דלת אחת נפתחה] חישובי הנתונים מתחילים מחדש.

 

[שמעון שפירא]

הבה נתאר לעצמנו את הסיפור בעולם גמיש יותר...
מיודענו עדיין לא החליט באיזו דלת לבחור, והנה בא המנחה הנדיב ופותח דלת אחת והנה מאחוריה פועה עז.
יבוא החכם וימליץ לשחקן, ראה, אם נטית יותר לבחור בדלת א', הרי שכדאי לך להמיר את הבחירה לדלת ב', אם נטיית ליבך היתה יותר לכיון דלת ב', הרי שמירב הסיכויים עברו לדלת א', אכן אם בכלל התכוונת לבחור בדלת ג', זו שנפתחה, הרי שסיכוייהם של דלתות א' ו-ב' זהים ואמליץ לך על גורל אן דן דינו...

הבל הבלים הכל הבל...