חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[ynigun]

אם ניקח את החידה ל10 דלתות,
הוא בחר באחד, והמנחה הצביע על שמונה דלתות שזה לא שם,
נשארו שניים.
מה יותר סיכוי?
ברור שלהחליף.
ה"ה כאן

למה זה ברור?

 

[ראובן שפירא]

למה זה ברור?

כי למעשה בין הדלתות שנשארו יש סיכויי זכיה גבוהים, של 50-50 לעומת הדלת שהוא בחר בהתחלה שהיו לה סיכויים נמוכים, 33 במקרה של 3 דלתות, ו10 במקרה של 10 דלתות.

זה לא יכול להיות מדע מדוייק, זה סטטיסטיקה, אבל היא עובדת.

 

[ynigun]

כי למעשה בין הדלתות שנשארו יש סיכויי זכיה גבוהים, של 50-50 לעומת הדלת שהוא בחר בהתחלה שהיו לה סיכויים נמוכים, 33 במקרה של 3 דלתות, ו10 במקרה של 10 דלתות.

זה לא יכול להיות מדע מדוייק, זה סטטיסטיקה, אבל היא עובדת.

למה זה ברור יותר ב10 דלתות מאשר ב3?

 

[ראובן שפירא]

אפשר אולי להפשיט את זה בעוד צורה,

ניקח את הדלת שהוא בחר ונשים אותה מול שתי הדלתות האחרות, כאילו יש כאן שני אנשים, אחד קיבל דלת אחת ואחד קיבל שתי דלתות. למי יש יותר סיכויים? ברור שלמי שיש לו שתי דלתות שהוא יכול לפתוח, נכון?

עכשיו, אם הורדנו למישהו השני דלת אחת כי יש מאחוריה עז, הסיכויים שלו ירדו או שעדיין אנחנו נחשיב אותו כבעל הסיכויים הגדול יותר בגלל שבכח יש לו את שני הדלתות אצלו? על זה התשובה המחוכמת שעדיין נחשב אותו כבעל הסיכויים הגדולים יותר, וממילא כל הסיכויים שלו הצטמצמו לדלת שנשארה, ולכן עדיף להחליף אליה.

אם צריך משלים אני אחפש.

 

[ראובן שפירא]

למה זה ברור יותר ב10 דלתות מאשר ב3?

אנסה במשל.

אם יש הגרלה על מליון ש"ח, ויש 10,000 כרטיסי הגרלה שרק באחד מהם כתובה הזכייה. לי יש כרטיס אחד, ולך יש 9,999 כרטיסים.

למי יש יותר סיכויי זכיה? לך.

אם יגיע המגריל ויאמר - אני הולך לפתוח לפניכם את כל הכרטיסים שלא זכו אחד אחרי השני. ואז הוא הולך ופותח את הכרטיסים שלך אחד אחד ומראה לך איך שהם לא זוכים, עד שנשאר לך כרטיס אחד בלבד מול הכרטיס הבודד שיש אצלי.

אתה תרגיש שלקחו לך את כל סיכויי הזכיה? הפוך. תרגיש שכל סיכויי הזכיה שלך הצטמצמו לכרטיס האחד שיש אצלך, ולא תסכים להחליף אותו איתי בשו"א, נכון?

זה הווארט.

 

[ynigun]

אפשר אולי להפשיט את זה בעוד צורה,

ניקח את הדלת שהוא בחר ונשים אותה מול שתי הדלתות האחרות, כאילו יש כאן שני אנשים, אחד קיבל דלת אחת ואחד קיבל שתי דלתות. למי יש יותר סיכויים? ברור שלמי שיש לו שתי דלתות שהוא יכול לפתוח, נכון?

עכשיו, אם הורדנו למישהו השני דלת אחת כי יש מאחוריה עז, הסיכויים שלו ירדו או שעדיין אנחנו נחשיב אותו כבעל הסיכויים הגדול יותר בגלל שבכח יש לו את שני הדלתות אצלו? על זה התשובה המחוכמת שעדיין נחשב אותו כבעל הסיכויים הגדולים יותר, וממילא כל הסיכויים שלו הצטמצמו לדלת שנשארה, ולכן עדיף להחליף אליה.

אם צריך משלים אני אחפש.

עם כל התשובות המחוכמות צריך לשים לב
שאם מישהו נכנס לאולפן **אחרי** שהמנחה פתח את אחד הדלתות הסיכוי הוא 50:50.
לבנתיים אני רואה אנשים שמצטטים הסברים שראו במקומות אחרים בלי להסביר באמת.....

 

[ynigun]

אנסה במשל.

אם יש הגרלה על מליון ש"ח, ויש 10,000 כרטיסי הגרלה שרק באחד מהם כתובה הזכייה. לי יש כרטיס אחד, ולך יש 9,999 כרטיסים.

למי יש יותר סיכויי זכיה? לך.

אם יגיע המגריל ויאמר - אני הולך לפתוח לפניכם את כל הכרטיסים שלא זכו אחד אחרי השני. ואז הוא הולך ופותח את הכרטיסים שלך אחד אחד ומראה לך איך שהם לא זוכים, עד שנשאר לך כרטיס אחד בלבד מול הכרטיס הבודד שיש אצלי.

אתה תרגיש שלקחו לך את כל סיכויי הזכיה? הפוך. תרגיש שכל סיכויי הזכיה שלך הצטמצמו לכרטיס האחד שיש אצלך, ולא תסכים להחליף אותו איתי בשו"א, נכון?

זה הווארט.

אם ארצה למכור את הכרטיס לצד שלישי לא יסכים לשלם על זה יותר מהכרטיס השני

 

[אבא1234]

אם ארצה למכור את הכרטיס לצד שלישי לא יסכים לשלם על זה יותר מהכרטיס השני

אבל אם נחשוב טוב, כשהוא קנה את הכרטיס היה לו 1/10000 אחוזי זכייה, מדוע שהשני יעשה מה שעשה, ישתנה אחוזי הזכייה לחמישים אחוז?!

 

[ynigun]

אבל אם נחשוב טוב, כשהוא קנה את הכרטיס היה לו 1/10000 אחוזי זכייה, מדוע שהשני יעשה מה שעשה, ישתנה אחוזי הזכייה לחמישים אחוז?!

זה השאלה שלי.....

 

[אבא1234]

זה השאלה שלי.....

דיברת על הכרטיס הראשון?

 

[ynigun]

דיברת על הכרטיס הראשון?

מציעים לך 2 כרטיסים למכירה
אחד שייך לא' שקנה 9999 כרטיסים ומתברר ש9998 לא זכו
ואחד שייך לב' שקנה כרטיס אחד.

כמה תשלם על כל כרטיס?

 

[אבא1234]

מציעים לך 2 כרטיסים למכירה
אחד שייך לא' שקנה 9999 כרטיסים ומתברר ש9998 לא זכו
ואחד שייך לב' שקנה כרטיס אחד.

כמה תשלם על כל כרטיס?

תלוי מי פתח את הכרטיסים שלא זכו:

אם ההוא שקנה את 9999 כרטיסים (ולא יודע מי הזוכה) התחיל לפתוח, והגיע עד לפני האחרון ואף אחד לא זכה, לא הייתי משקיע על האחרון יותר מהשני.

אבל אם יבוא האחראי שיודע מה זוכה, ופתח 9998 כרטיסים שלא זכו, הייתי משקיע על הכרטיס הנותר כמירב יכולתי...

 

[ynigun]

תלוי מי פתח את הכרטיסים שלא זכו:

אם ההוא שקנה את 9999 כרטיסים (ולא יודע מי הזוכה) התחיל לפתוח, והגיע עד לפני האחרון ואף אחד לא זכה, לא הייתי משקיע על האחרון יותר מהשני.

אבל אם יבוא האחראי שיודע מה זוכה, ופתח 9998 כרטיסים שלא זכו, הייתי משקיע על הכרטיס הנותר כמירב יכולתי...

מה זה משנה?

 

[אבא1234]

מה זה משנה?

אני יסביר:
המקרה הראשון לא מצוי ואין סיכוי שיקרה (רק כתבתי אותו להשוואה), אבל זה כמו שיש 10000 כרטיסים ופתחו את כולם באקראי חוץ משניים ואף אחד עוד לא זכה (שזה לא סביר ששיקרה), שלגבי השניים שנשארו אין הבדל בין בניהם, ששניהם 50/50 שיזכו.

לגבי המקרה השני, שהמנחה מקבל לידיו 9999 ומוציא מהם 9998 כרטיסים שלא זכו, יש סיכוי סביר שהאחרון הוא הזוכה.

 

[אזרח ותיק]

אני יסביר:
המקרה הראשון לא מצוי ואין סיכוי שיקרה (רק כתבתי אותו להשוואה), אבל זה כמו שיש 10000 כרטיסים ופתחו את כולם באקראי חוץ משניים ואף אחד עוד לא זכה (שזה לא סביר ששיקרה), שלגבי השניים שנשארו אין הבדל בין בניהם, ששניהם 50/50 שיזכו.

לגבי המקרה השני, שהמנחה מקבל לידיו 9999 ומוציא מהם 9998 כרטיסים שלא זכו, יש סיכוי סביר שהאחרון הוא הזוכה.

יפה. ולכן במקרה שלנו, רק אם המנחה ידע איפה יש רכב והוא פתח בכוונה איפה שיש עז - אז יש יותר סיכויים שבשמאלי יש רכב. אבל אם המנחה לא ידע והוא פתח "על עיוור" ובמקרה יצא לו עז - שתי הדלתות הנותרות 50-50

 

[אבא1234]

יפה. ולכן במקרה שלנו, רק אם המנחה ידע איפה יש רכב והוא פתח בכוונה איפה שיש עז - אז יש יותר סיכויים שבשמאלי יש רכב. אבל אם המנחה לא ידע והוא פתח "על עיוור" ובמקרה יצא לו עז - שתי הדלתות הנותרות 50-50

מסכים איתך,
(רק כנראה הוא ידע כי אם בטעות היה פותח את הדלת הנכונה?)

 

[ראובן שפירא]

לבנתיים אני רואה אנשים שמצטטים הסברים שראו במקומות אחרים בלי להסביר באמת....

[מי אמר לך שאני לא כתבתי את ההסברים במקומות האחרים?]

אין לי זמן לנסות להמשיך לשכנע אותך עכשיו, אתה יכול לקרוא את האשכול שקישרתי אליו לעיל, כתבתי שם כמה דברים, ואוכל לחזור עליהם כאן, כשיהיה לי זמן. השאלה היא רק בשביל מה.

 

[ynigun]

יש סיכוי סביר שהאחרון הוא הזוכה.

למה יותר מהכרטיס השני שלא נפתח?
לשניהם היה הסתברות שווה של 1/10000 לזכיה ועכשיו יש הסתברות של 1/2
למה שהבעלות על הכרטיסים תשנה משהו?

 

[SRW]

למה יותר מהכרטיס השני שלא נפתח?
לשניהם היה הסתברות שווה של 1/10000 לזכיה ועכשיו יש הסתברות של 1/2
למה שהבעלות על הכרטיסים תשנה משהו?

כשבחרנו מראש כרטיס אחד מתוך ה-10000 (או השלוש, העיקרון הוא אותו עיקרון במספרים שונים), חילקנו את הכרטיסים לשתי קבוצות:
קבוצה A כוללת בתוכה כרטיס אחד - שהוא הכרטיס שבחרנו.
קבוצה B כוללת בתוכה את שאר הכרטיסים - 9999 במקרה הזה.
הסיכוי שהכרטיס הזוכה נמצא בקבוצה A הוא 0.0001.
הסיכוי שהכרטיס הזוכה נמצא בקבוצה B הוא 0.9999.
כשהמנחה פתח את 9998 הכרטיסים שלו, הוא לא השפיע כלל על קבוצה A - זוהי קבוצה נפרדת לגמרי, והפעולות שנעשות בקבוצה B לא משפיעות עליה.
במקום זאת, הוא לימד אותנו משהו על קבוצה B - שכל הסיכויים שיש לאותה קבוצה, מתרכזות בכרטיס הבודד.
הפעולה לא שינתה את הסיכויים של כל קבוצה. היא רק לימדה אותנו, בתוך הקבוצה עצמה - לאיזה כרטיס יהיו הסיכויים שייכים.
אגב, גם אם מישהו נכנס לחדר אחרי שהמנחה פתח את הכרטיסים - הסיכויים נשארים כמו שהסברתי לעיל. הוא רק לא יידע זאת, המסכן, ויחשוב בטעות שהסיכויים שווים. אבל זו תהיה טעות שמבוססת על אי ידיעת הנתונים.

 

[הינדא ק]

אנסה במשל.

אם יש הגרלה על מליון ש"ח, ויש 10,000 כרטיסי הגרלה שרק באחד מהם כתובה הזכייה. לי יש כרטיס אחד, ולך יש 9,999 כרטיסים.

למי יש יותר סיכויי זכיה? לך.

אם יגיע המגריל ויאמר - אני הולך לפתוח לפניכם את כל הכרטיסים שלא זכו אחד אחרי השני. ואז הוא הולך ופותח את הכרטיסים שלך אחד אחד ומראה לך איך שהם לא זוכים, עד שנשאר לך כרטיס אחד בלבד מול הכרטיס הבודד שיש אצלי.

אתה תרגיש שלקחו לך את כל סיכויי הזכיה? הפוך. תרגיש שכל סיכויי הזכיה שלך הצטמצמו לכרטיס האחד שיש אצלך, ולא תסכים להחליף אותו איתי בשו"א, נכון?

זה הווארט.

ברור שאני יסכים להחליף
זה הרי עכשיו 50-50 מבחינה הגיונית
אני לא עושה את האחוזים של המצב הקודם אלא במצב הנתון זה סיטואציה חדשה שבה יש לי כרטיס אחד ולך כרטיס שני ואז ממילא הסיכויים מתחלקים בנינו.