חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[David Hadas]

חושב שיש כאן ערבוב בין תורת ההסתברות לתורת המשחקים
בתורת ההסתברות, נכון שלפני שהמנחה פתח את האמצעית - היה 66% שהימנית לא מובילה לאוטו, אבל זה היה בגלל חוסר הידע שלנו, שכלל גם את חוסר הידע על הדלת האמצעית. ברגע שהנתון הזה נודע לנו, לא רלוונטי מה שמקודם לא ידענו אותו, והסטטיסטיקה עכשיו עומדת על 50-50.
כאן יש שאלה שקשורה לסטטיסטיקה בשילוב תורת המשחקים (שתלויה בבחירות של בני אדם), כי הדלת האמצעית לא נפתחה מעצמה. מסתבר שהמנחה לא פותח דלת אקראית אלא תמיד יפתח דלת של עז (אם האוטו היה באמצעית הוא היה פותח את השמאלית), ואם כן באמת רוב הסיכויים שהאוטו נמצא בשמאלית, כי באמת היא מכילה את שני הסיכויים, וכמו שהוסבר בתרשים של ויקיפדיה.
https://www.prog.co.il/threads/הבעיה-של-מונטי-הול.957461/post-13417203
ההסבר הלוגי הוא, כי הבחירה של המנחה לפתוח את האמצעית, יש 33% שזו בחירה אקראית מתוך 2 עיזים שבאמצעית ובשמאלית, ו66% שזו בחירה כי בשניה נמצאת המכונית (כלומר אם המכונית היתה בשמאלית הוא היה בוחר באמצעית ואם באמצעית הוא היה בוחר בשמאלית). ולכן רוב הסיכויים שבבחירה שלו הוא ביצע עבורנו את האינדיקציה היכן המכונית.
מה שאין כן אילו הפתיחה של האמצעית היתה אקראית על ידי מישהו מהקהל אז באמת בשליש מהמקרים היינו מגלים מכונית, ובמקרים האחרים זה לא היה אינדיקציה היכן המכונית. במקרה כזה לא היה ענין למשתתף לשנות את הבחירה.

 

[SRW]

חושב שיש כאן ערבוב בין תורת ההסתברות לתורת המשחקים
בתורת ההסתברות, נכון שלפני שהמנחה פתח את האמצעית - היה 66% שהימנית לא מובילה לאוטו, אבל זה היה בגלל חוסר הידע שלנו, שכלל גם את חוסר הידע על הדלת האמצעית. ברגע שהנתון הזה נודע לנו, לא רלוונטי מה שמקודם לא ידענו אותו, והסטטיסטיקה עכשיו עומדת על 50-50.
כאן יש שאלה שקשורה לסטטיסטיקה בשילוב תורת המשחקים (שתלויה בבחירות של בני אדם), כי הדלת האמצעית לא נפתחה מעצמה. מסתבר שהמנחה לא פותח דלת אקראית אלא תמיד יפתח דלת של עז (אם האוטו היה באמצעית הוא היה פותח את השמאלית), ואם כן באמת רוב הסיכויים שהאוטו נמצא בשמאלית, כי באמת היא מכילה את שני הסיכויים, וכמו שהוסבר בתרשים של ויקיפדיה.
https://www.prog.co.il/threads/הבעיה-של-מונטי-הול.957461/post-13417203
ההסבר הלוגי הוא, כי הבחירה של המנחה לפתוח את האמצעית, יש 33% שזו בחירה אקראית מתוך 2 עיזים שבאמצעית ובשמאלית, ו66% שזו בחירה כי בשניה נמצאת המכונית (כלומר אם המכונית היתה בשמאלית הוא היה בוחר באמצעית ואם באמצעית הוא היה בוחר בשמאלית). ולכן רוב הסיכויים שבבחירה שלו הוא ביצע עבורנו את האינדיקציה היכן המכונית.
מה שאין כן אילו הפתיחה של האמצעית היתה אקראית על ידי מישהו מהקהל אז באמת בשליש מהמקרים היינו מגלים מכונית, ובמקרים האחרים זה לא היה אינדיקציה היכן המכונית. במקרה כזה לא היה ענין למשתתף לשנות את הבחירה.

אני למדתי הסתברות, ולא תורת המשחקים, ובכל זאת, על פי הידע שלי בהסתברות, הגעתי לתשובה של שליש - שני שליש.
נראה שהחידה עוסקת במקרה של הסתברות מותנית (מה הסיכוי למאורע ב' בהינתן שקרה מאורע א'), ומכיוון שההסתברות עוסקת בניסויים אקראיים - אין זה משנה כלל מי פתח את הדלת, מה ידע ומה היו כוונותיו.

 

[יוסף שובל]

סלחו לי רבותיי על ההשתמטות שלי מלהגיב עד כה, פשוט אין לי כ"כ זמן... נסיון אחרון:
במידה וקניתי כרטיס להגרלה, וכמוני קנה עוד אדם כרטיס לאותה הגרלה, כמה סיכויים יש לכל אחד מאיתנו? כמובן 50%. כשבא אדם נוסף וקונה גם הוא כרטיס לאותה הגרלה, האם הוא הוריד את הסיכויים שלי לזכות בהגרלה? על פי תורת ההסתברות המתמטית וההגיונית ודאי שכן, על פי האמת ממש לא. המתמטיקה\סטטיסטיקה\הסתברות\לוגיקה\וכל שום וחניכא דאית לה מתייחסת לסיכויים של אחד כלפי אחרים, אבל המציאות בשטח מתייחסת לאפשרות של האחד כלפי עצמו. והראיה, שלמרות שמליון אנשים קנו כרטיסי הגרלה ולכל אחד מהם היה רק סיכוי של אחד למליון לזכות בסוף פלוני אלמוני זכה. איך הוא זכה למרות ה'סיכוי' הנמוך? כי פשוט היתה לו אפשרות לזכות [בהגרלות פיס, בהם גם לא באמת מוכרח להיות זוכה, החידוש שבזכיה גדול יותר].
גם במקרה שלנו, אין סיבה אמיתית שהמכונית תהיה מאחורי דלת זו או אחרת, כשנפתחה דלת אחת זה כלל לא השליך על המציאות, כי אם כבר בחרתי את הדלת הנכונה [והיתה לכך אפשרות], הרי כל רוחות שבעולם לא יזיזוה לדלת השניה, כך שאין לה עדיפות אמיתית, כי אין סיבה שהיא תהיה שם יותר מאשר כאן.
השימוש ה'אמיתי' של ההסתברות הוא רק כאשר מקרה זה חוזר על עצמו, אז היא יכולה לחזות את הסיכויים, וגם אז היא עלולה לטעות [וזו לא תהיה טעות אמיתית, כי היא לא חזתה את האמת רק את ההסתברות, ודברים יכולים ואף לעיתים חייבים לפעול נגד ההסתברות].

מקוה שהפעם יהיה יותר מובן מה שאני טוען [לא חייבים להסכים איתי, כמובן...], אשתדל להיכנס כדי לראות את התגובות במידה ותהיינה, אבל יהיה קשה לי לחזור ולהגיב שוב ושוב.

???
אם היו להגרלה 2 כרטיסים ופתאום נהיו 3 הסיכויים ירדו ב50%!

 

[המורה רוזן]

בעצם זה שנפתחה דלת אחת נותן הוכחה שהכסף לא שם וממילא מוסיף לסיכויים של שאר הדלתות אבל זה שדווקא הדלת הזו נפתחה זה לא הוכחה לגבי הדלת שהוא רצה לפתוח משום שאותה לא היו פותחים בכל מקרה ולדלת השניה זה כן מוסיף סיכויים כי היא היתה מועמדת לפתיחה ככה יצא לי אישית בחשבון מהיר אשמח לתיקון

 

[זלמן שטארק]

יש שאלה שונה אבל חופרת גם:
בהגרלת הלוטו קונים כרטיס עליו מופיעים מספרים מ1 עד 50
בישראל צריך לבחור שישה מספרים, אבל נניח שאנחנו בפנטזילנד ושם בוחרים 24 מספרים.
באיזו מדינה יש יותר סיכוי לזכות בלוטו?
ומה יקרה אם נדרש לבחור 49 מספרים???

 

[אש קודש!]

בלת"ק
בהתחלה לכל אחת מהדלתות יש: סיכוי זכיה 1/3, סיכוי כשלון 2/3.
לאחר שבחרתי את הדלת הימנית שבה כאמור יש את הסיכוי הנ"ל, נותר לי שהסיכוי שזה יהיה באחת הדלתות האחרות סה"כ 2/3.
לאחר שהמנחה פתח את הדלת האמצעית, נותר שהסיכוי שזה יהיה בשמאלית הוא 2/3.
לכן אחליף דלת.

 

[איתי וקנין]

לאחר פתיחת הדלת שמאחוריה נמצאת עז נוצר מצב חדש של שתי דלתות שמאחורי אחת יש עז ומאחורי השניה יש מכונית הסיכויים המ 50-50
נכון שלפני פתיחת הדלת היה לקבוצה השנייה יותר סיכויים של 2/3 אבל זה בגלל שהקבוצה הייתה מורכבת מ2 והמכלול מורכב מ3 וכשנפתחה הדלת היא יצאה מהמשוואה והסיכוי שהמכונית דלת השניה שווה כמו לסיכויים בדלת הראשונה שזה 50-50