חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[אוזן שומעת]

לאחר שהמנחה פתח דלת שמאחוריה יש עז והציע להחליף את הבחירה המקורית, ישנן שתי אפשרויות.

1. שהמשתתף בחר את הדלת שמאחוריה המכונית ואז אם הוא יחליף הוא יפסיד.
2. שהמשתתף בחר דלת שמאחוריה יש עז ואז אם הוא יחליף הוא ירוויח.

הסיכוי לתרחיש הראשון הוא 1/3 ולתרחיש השני 2/3 ועל כן בוודאי שהוא צריך להחליף.

במחילה, שטות מוחלטת. המציאות כרגע שיש לו 2 דלתות, אחד עם עז ואחד עם מכונית.
כל דלת שיבחר זה חמישים אחוז בדיוק.
אין שם משמעות למה שהיה פה לפני זה עוד אפשרות בחירה

 

[SRW]

במחילה, שטות מוחלטת. המציאות כרגע שיש לו 2 דלתות, אחד עם עז ואחד עם מכונית.
כל דלת שיבחר זה חמישים אחוז בדיוק.
אין שם משמעות למה שהיה פה לפני זה עוד אפשרות בחירה

לא בכל מקרה שיש שתי אופציות, הסיכויים ביניהן שווים.
הסיכויים לא חייבים להתחלק 50:50.
סתם ככה, בדרך כלל לא כדאי לקבוע קביעות מוחלטות על דעות של אחרים.

 

[אוזן שומעת]

סתם ככה, בדרך כלל לא כדאי לקבוע קביעות מוחלטות על דעות של אחרים.

אא"כ היא נכונה.
אין שום הגיון חוץ מאשליה

 

[מתן מאור]

@אוזן שומעת. הטיעון שהעליתי הוא פשוט להבנה, כמעט אלמנטרי - אם תוכל להפריך אותו במילים פשוטות, אשמח.
@יחזקאל הגאון. אין זה הוגן להשתמש בבעיה מתמטית ידועה בשביל לזרות מחלוקת בציבור.

 

[אוזן שומעת]

הטיעון שהעליתי הוא פשוט להבנה, כמעט אלמנטרי - אם תוכל להפריך אותו במילים פשוטות, אשמח.

הענין הוא שזה לא חשבון סטטיסטי אלא ענין מציאותי גרידא.
נניח עכשיו מגיע אדם חדש ואומרים לו יש פה דלת אחת פתוחה עם עז אז זה לא אפשרות.
יש לך 2 אפשרויות לבחור, אחת עז ואחת מכונית.
זהו.
אין הבדל אמיתי בין אדם שצנח לפה עכשיו לבין ההוא שמתייגע להבין אם כדי לו להחליף דלת

 

[מתן מאור]

האדם החדש שהגיע לחדר אינו מצויד במספיק אינפורמציה כדי לדעת שמאחורי דלת מסוימת יש הסתברות גבוהה יותר להימצאות של מכונית. ועל כן זה נחשב לגביו כהסתברות של חמישים על חמישים.

הדבר נכון גם לאדם הראשון שהיה בחדר שלגביו ההסתברות הייתה שליש לכל דלת, אבל המנחה שמצויד במידע מה מונח מאחורי כל דלת, לגביו אין זה שליש לכל דלת אלא מאה אחוזים לדלת מסוימת ואפס לכל השאר.

לאחר שהראשון בחר את בחירתו והמנחה פתח דלת מסוימת, הוא נתן לו סוג של אינפורמציה שמעלה את ההסתברות של הדלת שבה הוא לא בחר לשני שליש. ואם האדם שנכנס כעת לחדר יקבל את האינפורמציה הזאת (כלומר, יגידו לו מה הדלת שהראשון בחר בה מלכתחילה) וודאי שעליו לבחור בדלת השנייה.

 

[אוזן שומעת]

שוב, הסבר סטטיסטי למה כך עליו לבחור, אבל במציאות יש אותם סיכויים בדיוק לכל דלת שיבחר בכל מצב

 

[מתן מאור]

סטטיסטיקה היא שיקוף של המציאות, זאת המהות שלה.
לעיל הביא מישהו תרשים מויקיפדיה שמראה במדויק את הסיכוים לכאן ולכאן, אני מעלה אותה שוב כדי להבהיר את הדברים:

 

[מתן מאור]

שוב, הסבר סטטיסטי למה כך עליו לבחור, אבל במציאות יש אותם סיכויים בדיוק לכל דלת שיבחר בכל מצב

אם אכן במציאות יש אותם סיכוים בדיוק לכל דלת שיבחר, האם זה נכון גם לגבי המנחה שיודע בוודאות מאחורי איזו דלת יש מכונית?

 

[אוזן שומעת]

סטטיסטיקה היא לא שיקוף של המציאות.
סטטיסטיקה מתיימרת לשקף את המציאות.
למרות שסטטיסטית על כל אוטובוס 402 יש עכשיו 25 איש (נניח) ועל פי חישובים כאלו קובעים את תדירות הנסיעות, בכל זאת אם כעת נשאל האם יש עכשיו 25 איש על האוטובוס יש 50 אחוז שכן ו50 אחוז שלא
ואין צורך להאריך בזה שהגם שסטטיסטית יותר מ1/60 מהפרות החולבות נמצאות בסוף טריפה ולמרות זאת החלב מותר כי רוב הפרות כשרות.
נושא ישן מאוד ורחב מאוד שמקומו באוצר החכמה

 

[SRW]

שוב, הסבר סטטיסטי למה כך עליו לבחור, אבל במציאות יש אותם סיכויים בדיוק לכל דלת שיבחר בכל מצב

הסטטיסטיקה היא כלי מדעי לתיאור וצפיה מראש של המציאות בטווח רחב של מקרים. היא אמנם אינה יכולה לחזות תוצאה מדוייקת במקרה יחיד, אך היא יכולה לחזות, ברמת דיוק מדהימה, את סך התוצאות של אוסף נתון וגדול יותר של מקרים.
הסטטיסטיקה מתארת את המציאות, היא לא מיסטיקה או משהו כזה. אם היא הייתה כזו - לא היינו יכולים להסתמך עליה בכל תחומי המדע, כפי שמסתמכים עליה למעשה.
להגדיר מציאות לחוד וסטטיסטיקה לחוד, מעידה, כמדומני, על חוסר הבנה מהי סטטיסטיקה.

 

[אוזן שומעת]

אם אכן במציאות יש אותם סיכוים בדיוק לכל דלת שיבחר, האם זה נכון גם לגבי המנחה שיודע בוודאות מאחורי איזו דלת יש מכונית?

למנחה אין שום אפשרות בחירה.
לאובייקט יש אפשרות בחירה במציאות המסופקת.
והספק כאן תמיד ישאר אותו דבר.
2 דלתות באחת יש מכונית ובאחת עז

 

[מתן מאור]

אם לא הייתה מציאות לא הייתה סטטיסטיקה.

אף אחד לא יגיד לך שעל כל אוטובוס 402 יש 25 איש. הוא יגיד לך אולי שבממוצע יש אל כל אוטובוס כזה 25 איש. והיות שאף אחד לא חי בממוצע, על כן לא סביר שתמצא בדיוק 25 איש על האוטובוס שתעלה לבדוק אותו. האם זה מפריך את הסטטיסטיקה? לא.

להניח שהסטטיסטיקה יודעת להגיד מה קורה במקרה בודד היא טעות. הסטטיסטיקה יודעת להגיד מה ההסתברות בטווח הארוך.
לדוגמא, סטטיסטית כשאני מפיל מטבע אני אקבל חצי חצי, אם הפלתי עכשיו עשר אגורות וקיבלתי מנורה אז אני אמור לקבל עכשיו את הספרה 10? לא. הסיכוי עדיין נשאר חצי חצי. אבל בטווח הארוך והרחב הסטטיסטיקה תצדק.

 

[SRW]

בכל מקרה, לפתרון החידה הזו יש להשתמש בכלים של הסתברות - שהיא ענף שונה מסטטיסטיקה, אם כי הם קשורים אחד לשני (על פי התצפית והניתוח של הסטטיסטיקה, אפשר לחשב מה תהיה ההסתברות).

 

[אוזן שומעת]

הסטטיסטיקה היא כלי מדעי לתיאור וצפיה מראש של המציאות בטווח רחב של מקרים. היא אמנם אינה יכולה לחזות תוצאה מדוייקת במקרה יחיד, אך היא יכולה לחזות, ברמת דיוק מדהימה, את סך התוצאות של אוסף נתון וגדול יותר של מקרים.
הסטטיסטיקה מתארת את המציאות, היא לא מיסטיקה או משהו כזה. אם היא הייתה כזו - לא היינו יכולים להסתמך עליה בכל תחומי המדע, כפי שמסתמכים עליה למעשה.
להגדיר מציאות לחוד וסטטיסטיקה לחוד, מעידה, כמדומני, על חוסר הבנה מהי סטטיסטיקה.

ההבנה מהי סטטיסטיקה לא נותן אפשרות לחזות עתידות.
נכון שאם נשאל סטטיסטיקאי התשובה תהיה לבחור בדלת X
אבל במציאות שיש לפנינו כעת אין שום הבדל בין הדלתות

 

[SRW]

ההבנה מהי סטטיסטיקה לא נותן אפשרות לחזות עתידות.
נכון שאם נשאל סטטיסטיקאי התשובה תהיה לבחור בדלת X
אבל במציאות שיש לפנינו כעת אין שום הבדל בין הדלתות

למדת פעם סטטיסטיקה ו/או הסתברות?

 

[אוזן שומעת]

לדוגמא, סטטיסטית כשאני מפיל מטבע אני אקבל חצי חצי, אם הפלתי עכשיו עשר אגורות וקיבלתי מנורה אז אני אמור לקבל עכשיו את הספרה 10? לא. הסיכוי עדיין נשאר חצי חצי. אבל בטווח הארוך והרחב הסטטיסטיקה תצדק.

אחלה דוגמא.
ולכן אולי בטווח הרחב באלף מקרים כאלו מי שיפתח את הדלת השניה אולי יזכה (ואולי לא, לא נכנס לזה)
אבל עכשיו זה בדיוק כמו אחרי הטלת המטבע בפעם הראשונה שכעת הסיכויים שווים בדיוק באיזה צד הוא יפול

 

[מתן מאור]

ההבנה מהי סטטיסטיקה לא נותן אפשרות לחזות עתידות.
נכון שאם נשאל סטטיסטיקאי התשובה תהיה לבחור בדלת X
אבל במציאות שיש לפנינו כעת אין שום הבדל בין הדלתות

כמובן שלא. אף אחד לא יכול לספק לך תחזית וודאית בנוגע למצב נתון על בסיס הסתברות.

אבל, המתמטיקאי יוכל לסבר את אוזנך שאם תשחק את המשחק הזה עשרת אלפים פעם ותחליף את הדלת בכל פעם, תרוויח את המכונית ב 66 אחוזים בקירוב. ואם לא תחליף תרוויח את המכונית רק ב 33 אחוזים בקירוב.

 

[אוזן שומעת]

למדתי רוב
הפוך בה והפוך בה דכולה בה

 

[מתן מאור]

אחלה דוגמא.
ולכן אולי בטווח הרחב באלף מקרים כאלו מי שיפתח את הדלת השניה אולי יזכה (ואולי לא, לא נכנס לזה)
אבל עכשיו זה בדיוק כמו אחרי הטלת המטבע בפעם הראשונה שכעת הסיכויים שווים בדיוק באיזה צד הוא יפול

אכן, והיות שבטווח הארוך הטלת מטבע תביא לתוצאה של 50 50 - גם בטווח הקצר ההסברות שהמטבע כרגע ייפול על צד מסוים הוא חמישים אחוז.
כך גם בנידון זה. בטווח הארוך מי שיבחר להחליף את הדלתות יזכה ב 66 אחוזים מהמקרים לעומת 33 אחוזים למי שיבחר להישאר - גם בטווח המידי ההסתברות לזכייה במקרה של החלפה היא 66 אחוזים.

ההסבר שלי בא רק לציין שהסטטיסטיקה אינה יכולה לחזות מה יקרה במקרה בודד באחוזים יותר גבוהים מהסטטיסטיקה עצמה.
כלומר, אם סטטיסטית יש סיכוי של שלושים אחוזים שמישהו יעבור מבחן בהצלחה, למרות שהוא נכשל כבר בשמונים אחוזים מהמבחנים השנה הסיכוי שהוא יעבור את המבחן הבא עדיין עומד על שלושים אחוזים, והסיכוי ההצלחה אינו עולה ככל שעולה אחוז הכישלונות.