חידה הבעיה של מונטי הול

[יחזקאל הגאון]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?
מה אתם הייתם מייעצים לו?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?
(לענות וגם לפרט למה)

 

[עטלף]

רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה האדם לא יודע?

 

[יחזקאל הגאון]

מה האדם לא יודע?

הוא לא יודע שהכללים הם שהמנחה צריך לגלות לו מה יש מאחורי אחד הדלתות...

 

[אסתר פ]

בשעשועון טלוויזיה אמריקאי ישן, בהנחיית מונטי הול, עומד המתמודד מול 3 דלתות.

ידוע שמאחורי אחת הדלתות ניצבת מכונית מתנה, אבל מאחורי 2 הדלתות האחרות יש רק... עז.

המתמודד בוחר באקראי באחת הדלתות נניח בימנית, וניגש לפתוח אותה.
או אז המנחה, שיודע איפה נמצאת מכונית הפרס, פותח בפניו את אחת הדלתות נניח האמצעית - שלא בחר ומראה לו שיש מאחוריה עז.
המנחה שואל אותו: האם אתה בטוח שאתה בוחר את הימנית או שאתה רוצה להחליף ולבחור את השמאלית?
האם כדאי למתמודד להמשיך ולפתוח את הדלת שהתכוון לפתוח מלכתחילה או לעבור לדלת השלישית שעדיין סגורה? או שאין בכלל הבדל בין שתי האפשרויות?

(כמובן זה בהנחה שאין למנחה שום אינטרס שתזכה או לא וכן שאלו הם חוקי המשחק - שהוא צריך לגלות לו רק שהאדם שבוחר את הדלת לא יודע את זה...)

מה אתם אומרים?

להמשיך למה שחשב מלכתחילה

 

[עטלף]

הוא לא יודע שהכללים הם שהמנחה צריך לגלות לו מה יש מאחורי אחד הדלתות...

הוא יודע שלמנחה אין שום אינטרס האם הוא יזכה או לא יזכה?

 

[יחזקאל הגאון]

אנחנו שיודעים את כללי המשחק ברור לנו שאין שום הבדל
המתמודד שלא יודע את כללי המשחק, צריך לשאול את עצמו: למה המנחה נתן לי עוד הזדמנות לשנות את החלטתי?
כנראה שיש לו אינטרס שאני ישנה את החלטתי, כנראה שאותו אינטרס זה: לנסות לשנות את הבחירה שלי לדלת השניה וכך להרוויח לבעלי הערוץ את הרכב בשבילם.
לא כך? @יחזקאל הגאון

א. גם לנו, ודווקא לנו צריך להיות הבדל
ב. אולי המנחה בכלל שונא את רשות השידור כי הם איחרו לו את המשכורת ולכן הוא רוצה לדפוק אותם

 

[יחזקאל הגאון]

הוא יודע שלמנחה אין שום אינטרס האם הוא יזכה או לא יזכה?

זה לא משנה כי השאלה היא מה אתה ממליץ לו לבחור

 

[עטלף]

זה לא משנה כי השאלה היא מה אתה ממליץ לו לבחור

אוקי!
היה ברור מראש שמתבשל פה משהו
עכשיו רק נשאר לדעת מה ולמה...
ננסה מכיוון אחר: אם השאלה היא, לא מה אנחנו ממליצים לו? אלא היכן יש סיכויים רבים יותר שנמצא הרכב?
יש הבדל בסיכויים בין הדלת הימנית לשמאלית?

 

[יחזקאל הגאון]

אוקי!
היה ברור מראש שמתבשל פה משהו
עכשיו רק נשאר לדעת מה ולמה...
ננסה מכיוון אחר: אם השאלה היא, לא מה אנחנו ממליצים לו? אלא היכן יש סיכויים רבים יותר שנמצא הרכב?
יש הבדל בסיכויים בין הדלת הימנית לשמאלית?

זו השאלה!

 

[יחזקאל הגאון]

יפה מאד!
כדאי לו לעבור לדלת השמאלית...
וההסבר הוא: את הדלת שהוא בחר, המנחה לא יפתח לפי כללי המשחק זה לא משנה מה יש שם
ועכשיו לשאלה הבאה: למה המנחה בחר לפתוח את הדלת האמצעית ולא את השמאלית?
יש סיכוי: שם נמצא הרכב... ולכן הוא לא פתח.
בעוד את הדלת הימנית הוא לא יפתח בכל מקרה

הכללים הם שהמנחה צריך לגלות דלת אחרת שיש בה עז ולשאול אותו האם הוא עדיין ממשיך עם הבחירה הראשונה

 

[אבא1234]

כשהוא בחר בשמאלית היו לא 33 אחוז זכייה, כך גם נשאר לו, משא"כ באחרות יש לו 66 אחוזי זכייה, וסה"כ המנחה צמצם לו את האפשרויות. הוי אומר שבשמאלית יש לו 66 אחוזי זכייה

 

[בנימין41]

ברור שעדיף להחליף.
הסיכוי שהמתנה בדלת שפתחתי מראש הוא1 מתוך 3
ואילו הסיכוי שהדלת שהמנחה מציע הוא 2 מתוך 3
המנחה פתח את הדלת משום שידע שש שם עז.
ממילא חישוב הסיכויים.
דלת 1. הדלת שבחרתי לראשונה. סיכוייה 1 מתוך 3.
במידה ודלת 2 או שלוש הכילו את המתנה, שווה לי להחליף.

 

[אבא1234]

זה נכון.
אבל כרגע זה "חמישים חמישים"

אם ניקח את החידה ל10 דלתות,
הוא בחר באחד, והמנחה הצביע על שמונה דלתות שזה לא שם,
נשארו שניים.
מה יותר סיכוי?
ברור שלהחליף.
ה"ה כאן

 

[אנה מפניך אברח?]

אבל גם כשהוא בחר את הימנית הוא בעצם אומר
"אני חושב שהימנית זה רכב והשניים האחרים זה עז"
ואם כן אז שכוייח גדול שהוא גילה לו, זה מה שהוא אמר, ואז לכאורה לא משתנית הסטטיסטיקה
לא? @אבא1234

 

[אבא1234]

אבל גם כשהוא בחר את הימנית הוא בעצם אומר
"אני חושב שהימנית זה רכב והשניים האחרים זה עז"
ואם כן אז שכוייח גדול שהוא גילה לו, זה מה שהוא אמר, ואז לכאורה לא משתנית הסטטיסטיקה
לא?

כשהוא בוחר את הימנית הוא לא יודע שבוודאי זה שם, אלא לוקח ריזיקה של 33 אחוז.
והוא יודע גם ש 66 אחוז הוא טועה וזה בדלתות האחרות,
לאחר שהמנחה פתח את הדלת השנייה, נוצר בפניו "פתח" לפתוח דלת של 66 אחוז, (שזה הדלת השנייה)

 

[לראות את הטוב]

אבל גם כשהוא בחר את הימנית הוא בעצם אומר
"אני חושב שהימנית זה רכב והשניים האחרים זה עז"
ואם כן אז שכוייח גדול שהוא גילה לו, זה מה שהוא אמר, ואז לכאורה לא משתנית הסטטיסטיקה
לא? @אבא1234

כן אבל בגלל שהמנחה בחר בדלת האמצעית ולא בימנית והיתה לו אפשרות בחירה של 1 מתוך 2, למשתתף הייתה אפשרות בחירה מתוך 3.
בסופו של דבר כל החלטה שלו היא הימור אבל כאן יש יותר סיכוי.

 

[SRW]

נראה שכדאי לשנות את בחירתו.
מלכתחילה, יש יותר סיכוי שהמשתתף בחר בדלת שמאחוריה עז - סיכוי של 2:1. לכן, בלי קשר לכך שהמנחה פתח דלת, הוא עדיין יכול להמר על כך שהוא נמצא מול דלת שמאחוריה עז.
לכן, במקרה שבו שינוי בבחירת הדלת תיתן את התוצאה השנייה, עדיף לעשות את השינוי - וכך, בהסתברות גבוהה יותר, לפתוח את הדלת שמאחוריה המכונית.

 

[ראובן שפירא]

למי שיש זמן לקרוא 1300 הודעות שמסבירות את הבעיה הזאת על כל רבדיה, מוזמן לקרוא את האשכול שבקישור הבא:

דרוש מקור בדברי ר"ש שקופ בדיני רוב שמסביר כמו פתרון בעיית מונטי הול

סיפר לי איש יודע ספר לפני הרבה מאוד זמן את בעיית מונטי הול ואמר שיש רב שמעון שקופ שמסביר בדיוק את אותו ההסבר בעניין דיני רוב אולי מישהו מהת"ח פה יוכל לדעת היכן הוא נמצא למי שלא מכיר את בעיית מונטי הול אז הנה:יש תוכנית בארה"ב שבו יש 3 דלתות שמאחורי אחת מהם מסתתרת מכונית יקרה ומאחורי השניים...

tora-forum.co.il

 

[ynigun]

הבעיה של מונטי הול

לא מדויק - בלוג על מתמטיקה ומדעי המחשב

gadial.net

 

[ראובן שפירא]

אגב, המיקוד של השאלה סביב ידיעתו או אי ידיעתו של המנחה שגוי. השאלה נכונה גם במידה והמנחה לא ידע מראש על התוצאה שתתגלה מאחורי הדלת שהוא פתח, אכן יש לדון על זה בנפרד, כי זה כן יכול להשפיע במידת מה.

בעיקרון התשובה הנכונה היא שעדיף להחליף דלת, זה ברור מצד 'דיני' הסטטיסטיקה.

כשהוא בחר את הדלת הראשונה, נניח דלת מס' 1, היו לו 33 סיכויי הצלחה.

אחרי שהמנחה פתח דלת והתברר שהיה מאחוריה עז עולה כי באחת משתי הדלתות האחרות יש את המכונית. ממילא בין שתי הדלתות האחרות נשארו סיכויים של 50-50, ולא כמו שהיה בהתחלה, 33%. לכן עדיף להחליף דלת.