רבותי-חברי הפורום היקרים,ברשותכם אכתוב כמה מילים בנושא חשוב ושמו -
"חישוב ממוצע משוקלל".
ותחילה- כדרכינו אפתח בס"ד במילי דאורייתא:
בתלמוד בבלי מסכת פסחים דף פ"ט ע"ב מובא מעשה "רב פפא ורב הונא בריה דרב יהושע עריבו ריפתא בהדי הדדי אדאכיל רב הונא בריה דרב יהושע חדא אכיל רב פפא ארבע א"ל פלג לי אמר ליה קבילתון איתיביה כל הני תיובתא ושני כדשנינן איתיביה בני חבורה א"ל התם דאמרי לי' כי קבלינך לתיקוני זביחה איתיביה סיבולת פלג ליה אזל עריב בהדי רבינא אדאכיל רב הונא בריה דרב יהושע חדא אכיל רבינא תמניא אמר מאה פפי ולא חדא רבינא" עד כאן.
צירפתי כאן בקובץ pdf ביאור מילולי לדברי הש"ס במעשה זה.
חשוב כאן לבאר ולפרש את התנהגותם של אמוראים קדושי עליון אשר בארץ המה.שלכאורא בפשטם של דברים זה נראה כאילו נהגו ברעבתנות ובצרות עין.וכל זה חלילה וחס לייחס לאמוראים הקדושים שכל אכילתם לשם שמים ומידת צידקותם ופרישותם כרחוק מזרח מן המערב כלפינו...ושיעור קומתם הרוחנית מי ישורינו...
ולכן חובה עלינו להעמיק ולעיין בסוגיא זו למנוע מדעתינו שיגיונות ושגיאות בביאור דברי הש"ס.
בקובץ pdf הנ"ל ליקטתי כמה וכמה ביאורים בענין זה לשבר את דעתינו ושכלינו הדל ליישב דבר דבור על אופניו...
ולקמן עוד נשוב לבאר בסוגיא זו את דברי רב הונא "מאה פפי ולא חדא רבינא"
וכעת,להבדיל בין קודש לחול...נלמד יחד על הנושא המתמטי -חישוב ממוצע משוקלל.
טוב,אז על חישוב ממוצע כולנו למדנו בביה"ס היסודי.
כאשר נתונים לחישוב מספר איברים של מספרים.
ואנו נרצה לחשב את הממוצע שבינהם.
נחבר את ס"ך כל המספרים ואז נבצע חילוק כמנין האיברים.
ומהו חישוב ממוצע משוקלל?
התשובה
שמשוקלל הוא מלשון משקל.כלומר יש כאן הבדל בין האיברים שלכל אחד יש משקל משלו.
בדרך כלל מייחסים את המשקל של כל איבר באחוזים.
הנוסחא של חישוב ממוצע משוקלל בשפה המתמטית נכתבת כך:
אסביר במילים יותר פשוטות,כדי לחשב את הממוצע המשוקלל יש להכפיל כל ערך (מספר) במשקל שלו. ולאחר מכן לחלק את כל החישוב שמתקבל -בסכום כל המשקלים.
למעשה, ממוצע חשבוני פשוט הוא "מקרה פרטי" שבו כל המשקלים במשוואה שוים זה לזה.
ואתם בטח שואלים את עצמכם,איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות?
ובכן.כולנו מכירים את דרך חישוב של הממוצע הקלאסי באקסל...וזאת כמובן על ידי פונקציית
average.
חשוב להזכיר כי פונקצייה זו פועלת לפי עיקרון הממוצע "הרגיל". וכך דרך חישובה בטווח תאים.ראשית היא מחברת את סכום כל התאים ואז מחלקת את כל הסכום המתקבל במספר התאים שנכתב בהם ערך (ולא ריקים...ואגב שאני אומר ערך זה
כולל 0.וחשוב מאוד מאוד לזכור זאת.אא"כ משתמשים בפונקציית averageif ומסננים את התאים הריקים..זהו הפיתרון הכי קלאסי ומקובל)
ומה קורה שיש לפנינו גיליון ציונים של מספר מבחנים שלכל אחד יש משקל משלו?
התשובה לכך...היא להמיר את הנוסחא המתמטית לפונקצייה שתבצע את כל החישוב הזה.
הזכרתי בפורום זה לא אחת את פונקציית
sumproduct הנפלאה והגאונית.
הפונקצייה הזו בצורתה הקלאסית מכפילה (
כברירת מחדל ,יש להדגיש!!!)ערך בשני בין שני טווחים תואמים,ומחזירה את סכום כל המכפלות.
רגע רגע...ניזכר לרגע זו בדיוק הפעולה המתמטית שכלולה במונה של נוסחת הממוצע המשוקלל.
ומה לגבי המכנה?
אז לשם כך נוסיף את פונקציית sum למשוואת החילוק שתסכם את ס"ך כל המשקלים.והנה פיתרון מושלם בדיוק לנוסחא שרצינו כאן.יפה וגאוני!!!
תראו בצילום מסך כאן (מתוך גיליון שצירפתי כאן)
תראו כמה זה נפלא ויפה...
ותראו את ההבדל בתוצאות ובאופן מוחשי בין ביצוע חישוב ממוצע רגיל לבין ממוצע משוקלל.
חשוב לזכור כי נושא זה של חישוב ממוצע המשוקלל הינו מושג חשוב מאוד ובעל ערך...ולא רק עבור לימודי המתמטיקה בעל-יסודי.אלא גם בסטטיסטיקה,לימודי כלכלה (כמובן בשוק ההון וכו..) ובפדגוגיה (מיפויי ציונים/"הערכות ומדידות" וכו..)
בצילום מסך הדגמתי דוגמא אחת בלבד שניתן לראות את ההפרש והפער בין חישוב ממוצע רגיל (שאינו מדויק...) לבין חישוב ממוצע משוקלל.
כעת נחזור לתחילת מאמר זה ולדברי רב הונא "מאה פפי ולא חדא רבינא"
אז לאחר שקראתם את הביאור הסוגיא זו בקובץ pdf הנ"ל שמצורף כאן.
גם(שלא כפירוש "חידושי המאירי" שאביאו לקמן) אם נפרש כפשוטה של סוגיא שרב פפא ורבינא אכלו
בפועל יותר מרב הונא בסעודתם יחדיו.
נראה שיש לפרש את דברי רב הונא כאמירה שיש בה משמעות מתמטית ואינה חלילה אמירה שיש בה צרות עין וכדומה...
תנסו לחשב את כל המובא לקמן בשבריר רגע בראש ללא מחשבון ולא אקסל שמונח לפניכם,
ותראו שזה חכמה וגאונות רבה עד מאוד...
בגיליון אקסל שערכתי (וגם הוא מצורף כאן)כל החישוב המתמטי כאן מעוצב וערוך מא-ת...וכל אחד מוזמן לפתוח את הגיליון ולראות את כל החישובים מקרוב.
אם תהיתם היכן השייכות כאן לחישוב ממוצע המשוקלל שדיברנו בו לעיל?
אז תראו בצילום מסך כדוגמא של תא G4
בתאים C4:C5 אלו "המשקלים" במשוואה המתמטית.
ואלו הם כמות הפרוסות שיש לרכוש.
ובתאים D4 : D5 אלו הערכים כלומר מחיר לכל פרוסת לחם.
כאשר נבצע חישוב מתמטי של הממוצע המשוקלל על ידי הטכניקה שלמדנו בעזרת פונקציות sumproduct +sum .נבחין בתשלום האמיתי שרב הונא צריך לשלם.
ולכן "ההפסד" יותר ניכר באכילתו עם רבינא מאשר באכילה עם מאה כמו רב פפא.
רבותי.הסברתי את כל הנ"ל גם אם נסביר כפשוטם של דברים.
אך חשוב וראוי לזכור את פירושו של "חידושי המאירי" בסוגיא זו .שמפרש שרב פפא ורבינא אכלו למעשה כמות אחידה כמו רב הונא.רק
שמיהרו באכילתם יותר מרב הונא .ואם כן כל החישוב כאן הוא
כפוטנציאלי בלבד להפסד, ולא הפסד מעשי וממשי.(יש בזה אריכות דברים רבה ועומק רב.ומי שחפץ יעיין וילמד את כל הסוגיא שם בפסחים עם השקלא וטריא וכו..)
וזה ביאור יקיר ונהיר אור יקרות על כל המעשה עם רב הונא מחידושי המאירי- מגדולי רבותינו הראשונים.
אפרופו ענין של "ערכין ומשוקלל" שדיברנו בו, אחתום בדברי רבינו הרמב"ם בהלכות תשובה (פרק ג' הלכה ב')
"ושקול זה אינו לפי מנין הזכיות והעונות, אלא לפי גודלם.יש זכות שהיא כנגד כמה עונות, שנאמר: "יען נמצא בו דבר טוב" (מלכים א יד, יג).ויש עון שהוא כנגד כמה זכיות, שנאמר: "וחוטא אחד יאבד טובה הרבה" (קהלת ט, יח).ואין שוקלין אלא בדעתו של אל דעות, והוא היודע היאך עורכין הזכיות כנגד העונות..."
זהו יסוד גדול מאוד ובפרט כלפי האדם שיראה לעיניים בלבד...צדיק ורשע אינו נמדד רק במנין מצוות ועבירות.אלא לפי
המשקל שלהם...
רק שבענין זה המשקל לא ידוע לנו כבני אדם וזהו רק בדעתו של קל דעות...נפלא מאוד!
נהנתם? אשמח לשמוע תגובות/הארות/והערות בכל הנושא הנ"ל.