אקסלומדע'ס פרק 6 ▪︎ כך תוכלו לחשב טור חשבוני סופי באקסל ▪︎ לא תאמינו כמה זה פשוט וקל!

אפתח את המאמר במילי דאורייתא:

א. בתלמוד בבלי מסכת שבת דף כ"א ע"ב לגבי נר חנוכה כתוב:
"והמהדרין מן המהדרין, ב"ש אומרים יום ראשון מדליק שמנה מכאן ואילך פוחת והולך.
וב"ה אומרים יום ראשון מדליק אחת מכאן ואילך מוסיף והולך.

אמר עולא... חד אמר טעמא דב"ש כנגד ימים הנכנסין וטעמא דב"ה כנגד ימים היוצאין.
וחד אמר טעמא דב"ש כנגד פרי החג וטעמא דבית הלל דמעלין בקדש ואין מורידין"
ההלכה, נפסקה כידוע כמו בית הלל.

ב. בתלמוד בבלי מסכת מנחות דף ק"ו ע"א אמרו רבותינו ז"ל "תנו רבנן, פירשתי מנחה וקבעתי בכלי אחד של עשרונים ואיני יודע מה פירשתי, יביא מנחה של שישים עשרונים דברי חכמים. רבי אומר יביא מנחות של עשרונים מאחד ועד שישים שהן אלף ושמונה מאות ושלושים"

מבלי להיכנס כעת לכל ביאור הסוגיה אתמקד בחשבון שהובא בדברי רבי והוא -1830.
זהו למעשה חיבור של כל העשרונים (מידת עשירית האיפה) כאשר בכלי אחד עישרון אחד, ובכלי השני שני עשרונים וכו' וכו' עד 60 כלים, ובכלי ה 60 מביא 60 עישרון בכלי אחד.
(זהו הסכום המקסימלי שניתן "ליחיד" להביא עשרונים של מנחה בכלי אחד. והטעם מבואר במשנה מנחות פרק י"ב מ"ד "שכן ציבור מביא...שישים ואחד.דיו ליחיד שיהא פחות מן הציבור אחד" יעוין שם)

רבותינו בעלי התוספות שם מבארים את הדרך לחישוב סכום כל העשרונים למנין של 1830 וזה לשונם:

חשוב לציין כי ישנם כאן דרכים נוספות לחישוב . ראו בפירוש "המלאכת שלמה" (על המשנה שם) בלינק כאן.
וכן "בשיטה מקובצת" (מנחות דף ק"ד ע"ב) בלינק כאן.
ולקמן עוד אשוב לדברי התוספות הנזכרים.

וכעת ,להבדיל בין קודש לחול (ואלפי הבדלות…)אפתח במה שמסופר - על זה שלימים הוגדר "מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים" - האסטרונום, הפיזיקאי והמתמטיקאי הגרמני - קרל פרידריך גאוס.

האגדה אומרת, שכאשר גאוס היה בבית הספר היסודי, המורה שלו התעצל ונתן לתלמידים את המשימה המייגעת של חישוב הסכום 100+...1+2+3 כלומר, סכום כל המספרים עד 100.

הרעיון היה שהם יבלו חצי יום בעבודה טכנית מייגעת וחסרת כל טעם, והמורה ינוח(הפסקת קפה? עוגה?...)הבעיה היא, שגאוס הקטן בא אל המורה תוך כמה דקות עם הפתרון.

האם זה קרה בגלל שגאוס היה מחשבון אנושי?

לא! בדיוק ההפך!

גאוס המחיש בצורה הטובה ביותר את הגישה - שמתמטיקאים הם "עצלנים"...

במקום לבצע את החישוב, הוא מצא “דרך קיצור” שנותנת לו את הסכום בלי שיצטרך לחשב את כולו במפורש.

הטריק של גאוס היה פשוט: הוא שם לב לכך שאם לוקחים את האיבר הראשון בסכום (שהוא 1) ומחברים אותו לאיבר האחרון בסכום (שהוא 100), מקבלים 101.

זה בפני עצמו לא מרגש במיוחד, אבל העניין הוא שאותו מספר בדיוק מתקבל אם מחברים את האיבר השני בסכום (שהוא 2) עם האיבר הלפני אחרון בסכום (שהוא 99), וכן הלאה.

בעצם, אומר גאוס, אפשר לחלק את כל המספרים בין 1 ל-100 לחמישים זוגות בדיוק, כך שהסכום של כל זוג הוא בדיוק 101:
(1,100),(2,99),(3,98),…

אם יש לנו בדיוק 50 זוגות, והסכום של כל אחד מהם הוא בדיוק 101, אז עברנו מביצוע 99 תרגילי חיבור, לביצוע תרגיל כפל יחיד:
5050 = 101 * 50

במתמטיקה, נהוג להבדיל בין טורים חשבוניים סופים לטורים אינסופיים, ויש עוד כמה קטיגוריות. אך כאמור אנו נתמקד בנוסחה לחישוב טור חשבוני סופי.

אז לאחר ההסבר הקצר נראה איך "נראית" הנוסחה בניסוח מתמטי.(ישנה עוד נוסחה יותר מורכבת .אך זו הנוסחה היותר ידועה...)

אסביר בקצרה:
בחלק המונה- אנו מחברים את המספר(האיבר) ההתחלתי + המספר הסופי בסדרה ומכפילים ב-n.(במספרים המכונים במתמטיקה "טבעיים") כלומר במספר הסופי בסדרה.
ואת כל זה מחלקים ב 2.

זוכרים את השאלה שנשאל גאוס בבית הספר?
תראו כדוגמא את כל ההסבר הנ"ל בהצבה בנוסחה המתמטית

עכשיו תראו. הגאונות בנוסחה כאן (על ידי הלוגיקה של הכפלת המונה ב2...)היא -שניתן לבצע בה חישוב לכל טור חשבוני סופי בין שס"ך האיברים הוא זוגי ובין שאינו זוגי.

תנסו להציב את הנוסחה לחישוב ממש פשוט של
1+2+3+4
או לחישוב 1+2+3 .ותראו עד כמה הנוסחה אמיתית וקולעת!

אוסיף כאן עוד נקודה חשובה. ניתן להגיע לאותו פתרון בעזרת טכניקת חיבורן של "זוגות" לסכום אחיד. כפי המוסבר לעיל בחישובו של "הילד" גאוס. וכאשר סכום האיברים אינו זוגי .לצרף את אותו איבר "הבודד" לחשבון.
וכך לוותר על החילוק ב 2 בנוסחה שהבאתי.
(כעת זה מובן מה ענין החילוק ב2? זה פשוט "לפרק" את הזוגות שמתקבלים במונה...תחשבו על זה...)

ועכשיו, תחזרו ותלמדו את דברי בעלי התוספות שהבאתי לעיל מילה אחר מילה...החשבון נפלא ומדויק.
התוספות מבארים בדרך זו את החישוב לפרי החג שמניינם עולה ל 70 (וכפי שאמרו חז"ל כנגד 70 אומות שמתמעטים והולכים וכו').

אמרו חז"ל כי "חכמה בגויים תאמין"...
גאוס שחי במאה 19 נחשב כמתמטיקאי שהגה וייסד את החישוב לטור חשבוני.

אך- עינינו תחזינה איך להבדיל אלפי הבדלות... הקדימו כבר בעלי התוספות(לפני כ900 שנים) בחוכמתם האלוקית ועומק עיונם, וכתבו את החשבון לכך בקיצור נמרץ...

"הפוך בה והפוך בה, דכולא בה" (מסכת אבות ה.כב)

אם נחזור כעת לדברי הש"ס בנר חנוכה. אז כולנו יודעים שס"ך מנין הנרות בחנוכה (כולל נרות ההידור) הוא 44.(ונאמרו בזה רמזים רבים ונפלאים)

מעניין מאוד, שאחד הטעמים שמובא לשיטת בית שמאי שהוא "כנגד פרי החג" .ולפי דרכינו הנ"ל "אין דברי רבותינו ז"ל יוצאים מידי פשוטם"...
והאנלוגיה בניהם כי שיטת החישוב למנין שניהם היא אחת וכפי שהסבירו בעלי התוס' בסוגיה במנחות. נפלא מאוד!
(צירפתי בלינק כאן את דברי המהרש"א בסוגיה שם במסכת שבת,
כדאי מאוד ללמוד את ביאורו המאיר והנפלא. איך דברי בית שמאי קשורים לתירוץ הראשון של הבית יוסף לקושייתו הידועה)

כעת, בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות...

את פונקציית sequence אתם הרי כבר מכירים…נכון? (ראו במאמריי הקודמים כאן וכאן)

ובכן, אם רק "נעטוף" אותה בפונקציית sum יהיה ניתן לבצע חישוב לכל טור מספרי ...(לפחות כזה שהוא "סופי")וכמובן לכל הדוגמאות שהובאו לעיל.

בגיליון נספח בלינק המצורף להלן, הכנתי דוגמא לחישוב מאוד פשוט (כזה שתוכלו לפתור "בראש" במספר שניות) של 4 + 3 + 2 + 1.
ומבוצע שלב אחרי שלב על ידי פונקציות sequence ו-sum.

אם הקונצפט מובן…
עכשיו, בואו ונראה(בצילום מסך מתוך הגיליון המצורף) את מבנה הפונקציות לחישוב כל הסוגיות התלמודיות שהוזכרו לעיל.

הכי קצר וקולע! הכי נפלא וגאוני!

הזכרתי לעיל ששפת המתמטיקה היא "לעצלנים" (בהומור כמובן...)
אז תדעו, שפונקציית sequence היא ההוכחה "לגאונות שבפשטות" של האקסל.

לסיום .אחתום במסרים תורניים לחיים שיש לנו להפיק מכל הנ"ל.

א. ראינו כאן איך "הפוך בה והפוך בה דכולא בה". (מסכת אבות ה.כב)
ואיך כל דברי רבותינו ז"ל בחוכמתם ועומק עיונם- משפטי אמת צדקו יחדיו…
כי - ליכא מידי דלא רמיזא באורייתא…

ב. אם האדם יחשוב אודות ימיו ושנותיו בעולם הזה. אז נכון שכלפי שמיא וגם כלפי האדם(בתוך ליבו וברגע של אמת) ניתן לצרף ולחשב את כל הימים יום ליום ושנה לשנה בכל אופן שינהג בהם האדם (לטוב או למוטב חלילה)
אך, על האדם לשאוף שצירוף זה של כל ימיו ורגעיו יהיו "טור חשבוני" בבחינת "מוסיף ועולה" תמידי בעבודת ה' לחושבנא טבא,
וזהו המסר הרמוז בדברי בית הלל(שהלכה כמותם).
הקב"ה יסייענו לכך, אמן.

לינק לגיליון שיטס הכולל חישוב לטור חשבוני סופי - מצורף כאן.