הנושאים החמים
כּולנו זוכרים את לוח הקפל מתנוסס ותלוי בלוח קיר החשבון בכיתות ביה"ס היסודי.
אתם בטח תוהים לעצמכם- רגע רגע… הרי הנכון הוא לומר ולכתוב לוח הכפל (בכף)? לא כך?
מה…טעות הקלדה דווקא בשורה הפותחת של כותב המאמר? או שמא מדובר "בטעות" מכוונת…
אני אסביר. בלשון הקודש ישנה חלוקה של כל האותיות הקדושות ל 5- "מוצאות הפה" והן - גרון, חיך, לשון, שיניים ושפתיים.
(כלומר הקול- שהוא אויר, עובר דרך מיתרי הקול של האדם, עוצר ועובר דרך מוצא הפה וכך נוצר אותו היגוי לאות)
כאשר אותיות החיך - הן גיכ"ק. והמשמעות לכך היא - שניתן להחליפן זו בזו.
חלופה כזו אנו מוצאים גם בכתובים מספר פעמים.
הנה דוגמא לכך: בספר שמואל א' (פרק י"ז פסוק ה') בתיאורו של גוליית נאמר "וְכוֹבַע נְחֹשֶׁת עַל רֹאשׁוֹ וְשִׁרְיוֹן קַשְׂקַשִּׂים הוּא לָבוּשׁ וּמִשְׁקַל הַשִּׁרְיוֹן חֲמֵשֶׁת אֲלָפִים שְׁקָלִים נְחֹשֶׁת." כוֹבַע באות -כ.
כמה פסוקים אחרי, כאשר שאול שלח את דוד להילחם בגולית נאמר (בפסוק ל"ח) "וַיַּלְבֵּשׁ שָׁאוּל אֶת דָּוִד מַדָּיו, וְנָתַן קוֹבַע נְחֹשֶׁת עַל רֹאשׁוֹ וַיַּלְבֵּשׁ אֹתוֹ שִׁרְיוֹן". קוֹבַע באות - ק.
עצם שורש כ.פ.ל מוזכר בתורה לראשונה בספר בראשית (כ"ג.ט) "וְיִתֶּן לִי אֶת-מְעָרַת הַמַּכְפֵּלָה אֲשֶׁר לוֹ אֲשֶׁר בִּקְצֵה שָׂדֵהוּ בְּכֶסֶף מָלֵא יִתְּנֶנָּה לִּי בְּתוֹכְכֶם לַאֲחֻזַּת קָבֶר"
רש"י הקדוש מביא את דרשת חז"ל (מסכת עירובין דף נ"ג ע"א) "המכפלה. בית ועליה על גביו דבר אחר שכפולה בזוגות."
הרמב"ן ז"ל הקשה על רש"י, ובהמשך הביא את דברי רבותינו ז"ל בבראשית רבה (נ"ח.ח) המבאר את שם המערה בכך "שכפל הקב"ה קומתו של אדם הראשון וקברו בתוכה". פירוש המילה כפל כאן, אינו שהכפיל הקב"ה את קומתו –אלא להפך, דהיינו שקיפל וכפף את גובהו.(ואמנם, בנוסחאות המצויות הגרסה היא "שכפף").
הרי לנו ששורש המילה כ.פ.ל בדרשת רבותינו ז"ל מהותו הוא קיפול משורש ק.פ.ל.
בואו נראה עוד דוגמא לכך:
בציווי עשיית החושן לבגדי כהן גדול נאמר בתורה הקדושה (שמות כ"ח. ט"ז) "רָבוּעַ יִהְיֶה כָּפוּל זֶרֶת אָרְכּוֹ וְזֶרֶת רָחְבּוֹ".
הרשב"ם (רבינו שמואל בן מאיר -נכדו של רש"י) על התורה מפרש וז"ל: "כעין כיס, לפי שנותנין לתוכו האורים והתומים" כלומר שהיה מקופל לשניים.
הרי לנו שוב, ששורש כ.פ.ל מוחלף בק.פ.ל.
וישנן דוגמאות נוספות ואריכות נוספת להנ"ל, אך אכמ"ל…
לשם הנוחות בלבד. במסגרת מאמר זה, מכאן ואילך אכתוב לוח הכפל בכף, כפי שגרת הלשון והכתב המצויה בפי הבריות ותלמידי ביה"ס.
המטרות הפדגוגיות העיקריות סביב נושא לוח הכפל הן:
1.חקר חוקיות בלוח הכפל ומשמעות הכפל.
2.פיתוח מיומנות שליפה מהירה של תרגילי כפל וחילוק מלוח הכפל.
3.התנסות במגוון דרכים לפתרון תרגילי כפל וחילוק.
4.ביסוס ויישום פעולות הכפל בפתרון שאלות מילוליות.
5.חיבור תרגילי כפל שונים לתוצאות קבועות.
6.הקניית מיומנות לחישוב מכפלה של שני מספרים על ידי שימוש במְנִיָּיה (מוחשית).
7.ביצוע הליך רֶפְלֶקְטִיבִי שמטרתו הבעה, פרשנות ועיבוד המידע.
8.עצם לימוד לוח הכפל מניח את הבסיס למושגים מתמטיים בפתרון בעיות ומשימות יום יומיות.
כעת, בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
תשמעו סיפור, חיימקה הקטן-תלמיד כיתה ג', ביקש מאביו לערוך עבורו (לצורך תרגול ולמידה בבית) את לוח הכפל ולהדפיסו.
אין זה סוד, שאת לוח הכפל ניתן להוריד חינמית כקובץ pdf (בשלל עיצובים שונים) מאתרים שונים.
אך אבא של חיימקה, רצה למלא את משאלתו של בנו היקר בשיטת "עשה זאת בעצמך" באמצעות האקסל/שיטס.
מה אתם אומרים, הוא יצליח? בטח שכן!!!
מצורף כאן צילום מסך (מתוך הגיליון שיטס המצורף כלינק להלן).וזו כבר התוצאה הסופית, וכך זה נראה.
בתא B2 כתובות הפונקציות במבנה המצורף כאן בקוד:
קוד:
=ARRAYFORMULA(SEQUENCE(10)*SEQUENCE(1,10))וואו זה ממש קצר וקולע…פשוט קסם!
כעת אסביר את "כל הטוב" הזה, כלומר את הלוגיקה שטמונה כאן.
אתם כבר מכירים את פונקציית sequence.נכון?
(כתבתי על נפלאותיה במאמריי הקודמים כאן וכאן וכאן)
תראו את הצילום מסך מתוך גיליון "נספח" המצורף בלינק להלן.
שלב 1:
בתא B1 קיימת פונקציית sequence הכי "פשוטה" שיש. בארגומנט הראשון הוזן הערך 10.כלומר ליצור "סדרה" ב 10 שורות.
(אני מזכיר שברירת המחדל ב 3 הארגומנטים האחרונים היא 1. זו הסיבה שלא היה צורך כאן לכתוב זאת במפורש בפונקצייה).
קוד:
=SEQUENCE(10)שלב 2:
קוד:
=SEQUENCE(1,10)בתא B13 קיימת עוד פונקציית sequence,וגם היא הכי קלאסית/הכי "פשוטה"...
אנו מבקשים מהפונקצייה ליצור סדרה במאוזן בעלת שורה אחת (המספר 1 בארגומנט הראשון) ו 10 עמודות (המספר 10 בארגומנט השני)
שלב 3:
עכשיו אנו מחברים את שלב 1 ושלב 2 בפעולת כפל.
אתן דוגמא ואסביר:
בתא C17 התוצאה היא 4.
זו תוצאה של הכפלת 2 ב 2.
נשאלת השאלה. כיצד נוצרה פתאום פעולת הכפל הזו דווקא?
התשובה לכך- שאנו מכפילים מערך של שלב 1 בשלב 2, התוצאה במכפלה של שלב 2 היא כלפי כל ספרה בסדרה שנוצרה בשלב 1.
ולכן, ספרה 2 בתא C16 נוצרה ופועלת "עצמאית" (כביכול) מכוח שלב 2.
וספרה 2 בתא B17 נוצרה ופועלת "עצמאית" (כביכול) מכוח שלב 1.
אבל העצמאות היא רק כביכול…כי כאן יש אלמנט שמכפיל שלב בשלב.
כאשר נכפיל את הספרה 2 מתא C16 בספרה 2 מתא B17 התוצאה היא -4.
ההסבר הנ"ל הוא דוגמא פרטית של התוצאה 4 בתא C17.והוא הדין לכל יתרת המערך שנוצר כאן.
הערה חשובה:
הגיליון המצורף בלינק להלן הוא גיליון שיטס.
מסיבות כאלו ואחרות (בהזדמנות בל"נ אכתוב על כך) יש צורך הכרחי להקיף את פעולת הכפל של פונקציות sequence בפונקציית arrayformula.
בגיליון אקסל אין צורך בפונקצייה זו. והאקסל גם לא "מבין" את הפונקצייה הזו.(הפונקצייה זמינה בשיטס בלבד, ההשלמה באקסל לאפקט שנוצר על ידי פונקצייה זו - היא לרוב בסוגריים מסולסלים.)
אז אם אתם מורידים את הגיליון ופותחים אותו באמצעות אקסל והוחזרה לכם שגיאה. פשוט תמחקו את הפונקצייה באופן ידני.
וכעת בואו חשבון:
כמה זמן לקח לאבא של חיימקה להזין באקסל/ שיטס את הפונקציות הנ"ל?
מספר שניות ספורות…!
והופ…יש לנו לוח הכפל בתפארתו באופן מדויק!
תהנו מהחכמה והלוגיקה הנפלאה שטמונה כאן…
שאני אומר ומזכיר שוב ושוב שפונקציית sequence היא גאונית ורבת עוצמה, זו לא קלישאה. אני מתכוון לכך ברצינות רבה…והדוגמא כאן במאמר זה היא אחת ההוכחות לכך.
נתקדם שלב. מה דעתכם על אתגרים באקסל?
כן? אז קדימה …
תראו, לוח הכפל המוכר והידוע לכם הוא בסה"כ תצוגה ויזואלית ככלי עזר ללמידה.
המטרה האמיתית שהתלמיד יזכור זאת מעצמו ללא כלי עזר. (לפחות את לוח הכפל עד 100…)
כאשר נשאל את התלמיד/עצמינו מהי התוצאה של 2 כפול 4?
אז כמובן שניתן לחשב זאת "בראש" ולשלוף את התשובה - 8.
כמו כן, תלמיד ביה"ס יכול לפתור זאת בכלים פדגוגיים כאלו ואחרים ולהגיע לתוצאה - 8.
וכמו כן, ניתן להקיש במחשבון הכי פשוט את הנתונים, ולקבל מיידית את אותה התוצאה - 8.
ניתן גם להביט בלוח הכפל הפרוס על השולחן /המסך ולומר את התשובה שכתובה "במשבצת" הנכונה.
וכעת, נראה איך ניתן לבצע זאת גם באמצעות נוסחאות / פונקציות באקסל/שיטס…
מצורף לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון המצורף ובו מוצגים 6 דרכים!!! עם תוצאה אחידה ואחת לכולם.
כל הפתרונות כאן על בסיס הפנייה לתאים.
בעמודה M / O קיים אימות נתונים לבחירה ספרה מ1 עד 10.
פתרון 1:
קוד:
=M1*O1בנוסחה זו הזנת פעולת הכפל היא במקש הכפל ×.
(בתצוגה של הנוסחה, הכפל נראה כעין כוכבית עליונה)
זהו הפתרון הקל ביותר, הידוע והמפורסם לכל.
פתרון 2:
קוד:
=SUMPRODUCT(M3,O3)פונקציית sumpoduct היא פונקצייה נפלאה (ארחיב אודותיה בהמשך בל"נ) וגאונית.
בכל ארגומנט שבה ניתן להזין מערך /טווח תאים.
בברירת מחדל (אני מדגיש!) של הפונקצייה תתבצע פעולת כפל במערכים שהוזנו כלומר הכפלה בכל שורה בודדת. ולאחר מכן סיכום של תוצאות המכפלות שהתקבלו.
ניתן להזין בפונקצייה עד 255 מערכים.
כאן אנו משתמשים במכפלת תא בודד מול תא בודד והפונקצייה מסכמת את התוצאה.
פתרון 3:
קוד:
=PRODUCT(M5,O5)פונקציית product היא פונקצייה שכל פעולתה היא כפל בלבד.
בשני הארגומנטים שבה, אנו מזינים את הספרות שנרצה לכפול זו בזו (כזכור משיעורי המתמטיקה בביה"ס היסודי- על פי "חוק החילוף" בכפל אין משמעות בתוצאה לסדר "האיברים" במכפלה)
פתרון 4:
קוד:
=OFFSET(A1,M7,O7,1,1)שמתם לב שעמודה A הוסתרה בגיליון זה?
זהו לא סתם…
זוכרים את פונקציית offset הגאונית?
(על אודותיה ונפלאותיה כתבתי במאמריי הקודמים כאן וכאן וכאן)
אז תא A1 משמש את תא ההפניה בפונקצייה זו. ממנו הטיול /המסע מתחיל.
אנו אומרים לפונקצייה:
בארגומנט 1- "לעמוד" ולהתחיל את מסלול ההליכה מתא A1.
בארגומנט 2- כמה תאים לרדת מטה(הבחירה באימות נתונים היא מספרים "חיוביים" בלבד ולכן זה תמיד יתבטא בירידה כלפי מטה…) באותה עמודה.
ההוראה היא לפי מה שכתוב בתא M7.
בארגומנט 3- לאחר מכן, כמה תאים "לזוז" ימינה (הואיל והמספרים כאן חיוביים בלבד ומבנה הגיליון משמאל לימין לכן התנועה היא תמיד לצד ימין בלבד)
ההוראה לכך כתובה בתא O7.
בארגומנט 4 ו 5 כתוב 1 (כברירת המחדל).
והמשמעות היא "לאסוף" תא אחד בלבד בסיכומו של עניין…
תראו איזה יופי, וכמה נפלא וגאוני החישוב הזה באקסל /שיטס…
פתרון 5:
קוד:
=INDEX(B2:K11,M9,O9)בארגומנט הראשון בפונקציית index הוזן מערך של כל לוח הכפל.
בארגומנט השני - ישנה הוראה איזו מספר שורה ללקט באותה עמודה
בארגומנט השלישי - ישנה הוראה כמה עמודות לפנות (ימינה) מתחילת מערך זה.
קצר, נפלא וקולע!!!
פתרון 6:
קוד:
=VLOOKUP(M11,B2:K11,O11,0)אנו אומרים לפונקציית vlookup.
(בארגומנט ראשון)תסתכלי על תא החיפוש M11, וכעת (בארגומנט השני) תחפשי את הערך מתא M11 בטווח B2:K11 (הטווח לחיפוש בפונקצייה זו הוא תמיד יהיה בעמודה "1" ,ובדוגמא כאן עמודה B. המערך השלם שהוזן הוא לצורך הגדרות של "גבולות הטבלה" שיוחזר ממנה ערך מתא אחד בלבד).
ואם הערך נמצא בעמודה B, (בארגומנט השלישי)תחזירי לנו את ערך התא (באותה שורה) לאחר שהתקדמת מתחילת הטווח מספר עמודות שהוזנו בתא O11.
הארגומנט הרביעי הוא 0 כלומר התאמה "מדויקת".
כמה שזה נפלא וגאוני עד מאוד!!!
רבותי, עד כאן לפתרונות והחשבונות!
נראה לי ש 6 דרכים זה די והותר…אבל זה לא הכל…
אם למישהו מכם יש דרך/ חישוב נוסף באקסל לפעולת הכפל .נא לכתוב בתגובות למטה.
לסיום, אחתום "בממתק" תורני עבורכם:
לעיל, בתחילת מאמר זה כתבתי על כך שמשמעות כ.פ.ל ו-ק.פ.ל זהה.
בספרות התורנית מימי הביניים וכן בספרי הקבלה השונים ניתן למצוא את הביטוי "הכאה" כביטוי לפעולת כפל.
אם אדייק יותר את דבריי, משמעות הכאה בספרי הקבלה היא הכפלה "מיניה וביה" (להלן אביא דוגמא לכך)
כלומר של מכפלה של ס"ך האות (בגימטריה) בס"ך האות עצמה ( בגימטריה שבה).
נשאלת השאלה. מהו המקור לכך? ומהיכן הִשְׁתַּרְבֵּב מונח זה?
על פי כמה השערות הִיסְטוֹרְיוֹנִיּוֹת (כאן למשל), התשובה היא - השפה הערבית.
אסביר: בשפה הערבית, הפועל דַ'רַבַּ /צַ׳רַבּ -ضرب משמעותם הן להכות (המילה אוּדְרוּבּ פירושה- להכות/קריאת זירוז להתקדם) והן לכפול.
רבי יהודה בן תבון, שהעתיק ספרים רבים מערבית לעברית, תרגם את המילה דַ'רַבַּ במילה הכה, וממנו ואילך השתרשה המילה בלשון המחברים שחיו בצילה של הערבית.
אחת הדוגמאות הידועות בספרי הסוד והקבלה "להכאה" היא הכאה (כלומר הכפלה של כל אות "בעצמה") של שם הוי"ה ברוך הוא. אסביר:
האות י' בהכאה היא = 100 כלומר 10*10.
האות ה' בהכאה היא = 25 כלומר 5*5.
האות ו' בהכאה היא = 36 כלומר 6*6.
האות ה' בהכאה היא = 25 כלומר 5*5.
אם נִסְכּוֹם ונחבר את כל הנ"ל 25 + 36 + 25 + 100 התוצאה תהיה 186.
המספר 186 הוא גם גימטריה של "מקום" -40 + 6 + 100 + 40.
גימטריה זו היא באה לביטוי "הלכה למעשה". מי שיפתח ויראה את "סידור הרש"ש" בכוונות התפילה. (בפסוקי העקידה למשל, בפסוק "ויקם וילך אל המקום אשר אמר האלוקים")
יגלה את הכוונה הזו שיש לכוון בכל פעם שמוזכרת המילה "מקום" בתפילה ,
"יייייייייי ההההה וווווו ההההה"
זו אותה "הכאה" הנ"ל שמשמעותה מכפלה של האות בעצמה.
על כך אמרו רבותינו ז"ל: (בראשית רבה ס"ח.ט) "וַיִּפְגַע בַּמָּקוֹם. רַב הוּנָא בְּשֵׁם רַבִּי אַמֵּי אָמַר -
מִפְּנֵי מָה מְכַנִּין שְׁמוֹ שֶׁל הַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא וְקוֹרְאִין אוֹתוֹ מָקוֹם, שֶׁהוּא מְקוֹמוֹ שֶׁל עוֹלָם וְאֵין עוֹלָמוֹ מְקוֹמוֹ,
מִן מַה דִּכְתִיב הִנֵּה מָקוֹם אִתִּי, הֱוֵי הַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא מְקוֹמוֹ שֶׁל עוֹלָם וְאֵין עוֹלָמוֹ מְקוֹמוֹ." עד כאן.
לינק לגיליון שיטס הכולל את אופן יצירת לוח הכפל והדרכים לחישוב מכפלות מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 8 ▪︎ כך תערכו הגרלה באמצעות האקסל/גוגל שיטס ▪︎ כמה מילים אודות פונקציית RANDBETWEEN הנפלאה
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 6 ▪︎ כך תוכלו לחשב טור חשבוני סופי באקסל ▪︎ לא תאמינו כמה זה פשוט וקל!
