הנושאים החמים
קרדיט - Leonardo AI
אפתח את המאמר במילי דאורייתא:
א. בתלמוד בבלי (מסכת כתובות דף ס"ח ע"א) איתא: "גופא, אמר רבי, בת הניזונת מן האחין,(כלומר שהאב מת, והניח יורשים ובת. ומתקנת חכמים שבמקרה כזה היורשים חייבים להשיא את הבת, ולתת לה נדוניה מכספי הירושה) נוטלת עישור נכסים.(לנדוניה שלה) אמרו לו (חכמים) לרבי, לדבריך מי שיש לו עשר בנות ובן, אין לו לבן במקום בנות כלום?
("החתם סופר" ביאר שכיון שהכל תלוי "באומדנא" של הנפטר אילו היה חי כמה היה נותן כמו שביארו התוספות שאביא לקמן. א"כ לא מסתבר שהיה האב נותן הכל לבנותיו ומניח עצמו עני ללא נכסים כלל.ולכן שאלו חכמים על "עקירת" דין ירושה שיש בדין זה של רבי.)
אמר להן, כך אני אומר, ראשונה נוטלת עישור נכסים, שניה במה ששיירה,(הראשונה) ושלישית במה ששיירה,(השניה) וחוזרות וחולקות בשווה.(כלומר שאח"כ לוקחות את הסכום הכללי שהתחלק בניהן, ומחלקות זאת בשווה כל 10 הבנות.)
(ושואלת הגמרא) כל חדא וחדא דנפשה שקלה?(כלומר מדוע הן חוזרות וחולקות בשווה, הרי כל אחת לקחה את חלקה כדין בעת נישואיה. ומי שנישאה קודם "הרויחה" חלק יותר גדול?)
נ.ב בעלי התוספות בד"ה כל חדא וחדא- מקשים על קושיית הש"ס הרי לקמן אנו רואים שאם נישאו כולן כאחד חולקות אח"כ בשווה. ומדוע לא נאמר סברא זו גם שנישאו בזה אחר זה?
ועיקר קושיית תוספות הוא משום שלמדו התוס' שיש זכייה לבנות בירושה מיד עם פטירת האב ואז הרי מעמד כולן שווה.ובאמת זו מחלוקת בראשונים האם זכייתן מיד עם פטירת האב או בשעת הנישואין…עיין בחידושי הריטב"א ושיטה מקובצת.
בעלי התוספות מתרצים ביסוד חשוב בכל סוגיין. שכל דין של "עישור נכסים" הוא משום שיש כאן "אומדנא" שסתם בני אדם נותנים לבנותיהן שנישאות. ואילו היה האב קיים היה נותן לראשונה עישור מנכסיו ולא היה פוחת מכך בשביל בנותיו האחרות שינשאו אח"כ. נפלא מאוד.
(מתרצת הגמרא) הכי קאמר, אם באו כולם להינשא כאחת חולקות בשוה. מסייע ליה לרב מתנה, דאמר רב מתנה, אם באו להנשא כולם כאחת נוטלות עישור אחד. עישור אחד סלקא דעתך? אלא נוטלות עישור כאחד."(אך במקרה שנישאו בזה אחר זה, כל אחת נוטלת עישור מזו ששיירה לפניה, ואינן חולקות אח"כ בשווה.)
ב. בתלמוד ירושלמי (מסכת כתובות פרק ו' הלכה ו') לאחר שהובאו דברי רבי הנ"ל כמבואר בתלמוד בבלי איתא שם "נמצאו הבנות נוטלות תרין חולקין פרא ציבחר, והבן נוטל חד חולק ואוף ציבחר "
התלמוד מְכַמֵּת ומסכם את חלקן של כל הבנות שנישאו יחד וכמה הבן נוטל - כלומר כמה "נשאר" לו.
בואו נתרגם את דברי התלמוד ירושלמי:
ציבחר…מהו ציבחר?
בספר ישעיהו (י.כ"ה) נאמר "כִּי עוֹד מְעַט מִזְעָר, וְכָלָה זַעַם וְאַפִּי עַל תַּבְלִיתָם".
ותירגם על כך יונתן בן עוזיאל "אֲרֵי עוֹד צִבְחַר כִּזְעֵיר וִיסוּפוּן לְוָטַיָא מִנְכוֹן דְּבֵית יַעֲקֹב וְרוּגְזֵי עַל עַמְמַיָא עָבְדֵי תִבְלָא לְשֵׁיצָיוּתְהוֹן"
ובספר איוב (ל"ו.ב) נאמר "כַּתַּר לִי זְעֵיר וַאֲחַוֶּךָּ כִּי עוֹד לֶאֱלוֹהַּ מִלִּים".
ותירגם על כך יונתן בן עוזיאל "אַמְתֵּן לִי צִבְחַר וַאַחֲוִינָךְ אֲרוּם תּוּב לֶאֱלָהָא מִלַיָא"
למדנו מכאן שהמילה "ציבחר" פירושה חלק קטן, זעיר.
וא"כ הביאור בדברי התלמוד ירושלמי הוא- שאם נחלק את נכסי האב ל3 חלקים שוים (לדוגמא: 3 / 100) ונמצא שכל חלק הוא ערך של 33.33
הבנות כולן יחד נוטלות שני חלקים משלישים אלו (כלומר) 66.66
"פרא ציבחר" כלומר, חסר חלק זעיר.
והבן נוטל מהנכסים שליש אחד "ואוף ציבחר" כלומר תוספת של חלק זעיר.
אנחנו נשוב ונדון לקמן בדבריו של התלמוד ירושלמי…
כעת, בואו ונראה איך הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
ובכן, אם נרצה לבוא חשבון ולסכם במספרים את דברי רבי האמורים לעיל בתלמוד בבלי וכן בתלמוד ירושלמי - אין לנו אלא לכתוב זאת ולחשבן את הדברים שלב אחרי שלב.
וכמובן שניתן לבצע זאת באקסל/ שיטס בעזרת נוסחאות ופונקציות.
אז קדימה, התחלנו…
תראו בצילום מסך שלפניכם (מתוך הגיליון שיטס המצורף לקמן בלינק).
בתא D3 הסכום הוא 100 כלומר- זו דוגמא לסכום שהותיר האב שמת, את סכום זה יש לחלק לצורך נדוניית הבנות ולירושת הבן.
הבת הראשונה, נוטלת עשירית מסכום זה כלומר 0.1 במכפלת הסכום שישנו לפנינו.
קוד:
=D3*C3נמשיך לבת השנייה. בתא D4 מבוצעת נוסחה לחישוב כמה כעת נותר הסכום "בקופה".
קוד:
=D3-B3וגם כאן, בתא B4 מבוצע חישוב כמה היא מקבלת מהסכום ששיירה הראשונה.
קוד:
=D4*C4בגיליון המצורף החישוב ממשיך במתכונת זו בדיוק לכל 10 הבנות שנישאו בזו אחר זו.
הלאה, נתקדם שלב…
אם נרצה לחשב מהו שיעור הנכסים שנטלו הבנות עד כה?
כמובן שניתן פשוט לסכם את כל החלקים שחולקו לכל בת בנפרד עם פונקציית sum
תראו את הפונקציה בתא A16 בגיליון המצורף לקמן.
קוד:
=SUM(B3:B12)ומה שיעור הנכסים (מתוך כל ה 100) שנותרו לבן היורש? כלומר, בכמה מדובר "במספרים"?
אז זו הנוסחה בתא C16.
ההיגיון כאן מאוד פשוט. מהנכסים שעמדו לרשותה של הבת העשירית והאחרונה אנו מפחיתים את מה שנטלה הבת העשירית, וכל היתר הרי שייך לבן היורש.
קוד:
=D12-B12נפלא! נכון…?
דברי התלמוד בבלי מאירים ונהירין לפנינו כשולחן ערוך…
כעת. זה הזמן לשוב לדברי התלמוד ירושלמי שהובאו לעיל…
"נמצאו הבנות נוטלות תרין חולקין פרא ציבחר, והבן נוטל חד חולק ואוף ציבחר "
הסברתי לעיל כי פירושו של "ציבחר" הוא חלק קטן וזעיר.
וכי אותו חלק זה בנכסים המכונה "ציבחר" הוא מחד מופחת לבנות שנישאו ומאידך, הרי הוא עודף לזה הבן היורש.
אם נרצה לחשב את דברי הירושלמי בעזרת מחשבון או בעזרת האקסל, צריך לחלק את חלק השלם (כלומר 100) ל 3 חלקים (שלישים).
התוצאה כמובן = 33.33
כלפי הבנות:
נחבר שני שלישים לסכום 66.66 (כדברי הירושלמי "תרין חולקין) , וכעת נפחית את הסכום הכולל שנתקבל לכל הבנות יחדיו .כלומר 65.13215599
התוצאה בפעולת חיסור זו היא -1.534510677 זהו חלק "הציבחר" עליו דיבר התלמוד ירושלמי.
כלומר, כלפי מה שנטלו הבנות, אנו אומרים שחלק זה "היה חסר להן" להשלים לשני שלישים מכלל הנכסים.
תראו את כל חשבון זה ערוך בתא A20 מתוך הגיליון המצורף להלן.
קוד:
=((100/3)*2)-A16:B16כלפי הבן:
ניקח חלק אחד (שליש אחד ממאה) כלומר 33.33 (כדברי הירושלמי חד חולק), ונפחית
ממנו את החלק שנטל הבן כלומר 34.86784401.
וגם כאן- התוצאה בפעולת חיסור זו היא -1.534510677 זהו חלק "הציבחר" עליו דיבר התלמוד ירושלמי.
ההיגיון מאחורי זה- כי אותו "ציבחר" בדיוק נחסר בחלק הבן, ובמקום זאת ניתן לחלקן של הבנות.
תראו את כל חשבון זה ערוך בתא C20 מתוך הגיליון המצורף להלן.
קוד:
=C16:D16-(100/3)איזה חשבון נפלא וגאוני! וואו!
אתם רוצים לשמוע משהו?... כל החשבונות הנ"ל הן רק הקדמה קטנה לעיקרו של מאמר זה…
המאמר שלנו מתחיל מכאן ואילך…
האם שמעתם על המספר e?
האם שמעתם על קבוע אוילר?
תכירו, לאונרד אוילר (1707-1783) - היה מתמטיקאי ופיזיקאי שוויצרי, שנחשב מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה,
אוילר קידם תחומים רבים במתמטיקה של המאה 18, ביניהם: אלגברה, אנליזה, תורת המספרים, גיאומטריה ותורת הגרפים ועוד.
מלבד זאת, אוילר עסק, קידם וחקר תחומים רבים, ביניהם: אסטרונומיה, מכניקה, הנדסת מבנים, פילוסופיה ואפילו מוזיקה…
בין תגליותיו ויצירותיו המדעיות של אוילר, נמנית האות e שמסמלת ערך מספרי קבוע ומכאן השם "קבוע אוילר".(סימון האות e נקבע על ידי אוילר בשנת 1727)
ערכו שווה ל: …2.7182818284590
רוצים לדעת כמה ספרות ישנן לאחר הנקודה עשרונית?
בלינק כאן תוכלו לראות 5000000 ספרות לאחר הנקודה העשרונית!!!
כן…קראתם נכון -5 מיליון ספרות!!! ויש עוד המשך…אבל נראה לי שזה מספיק לכם לקריאה. נכון?
חישוב הספרות בוצע על ידי מדען ומתמטיקאי בשם Robert Nemiroff (מאוניברסיטת George Mason -מדינת וירג'יניה)
יש הטוענים, שסימון מספר זה באות e דווקא הוא ללא סיבה מיוחדת…פשוט סתם בחירה אקראית מאותיות a.b.c
מאידך. יש טוענים שזהו קיצור של המילה exponent - אֶקְסְפּוֹנֶנְט (המונח אֶקְסְפּוֹנֶנְצְיאלִי מזכיר לכם משהו? בתקופת "הקורונה" שמענו אותו הרבה פעמים…)
ומה הקשר ביניהם?
התשובה - כי נוסחת אוילר היא הבסיס "לפונקציית" אקספוננט באנליזה מתמטית .זו המכונה "הפונקציה המעריכית הטבעית".
וישנן גם השערות, שאות זו נבחרה כי היא האות הפותחת בשמו של אוילר -euler…
נשאלת השאלה. מהיכן הגיע המספר קסם הזה? מה משמעותו בכלל' והיכן יש לו ביטוי מעשי?
אז אנסה כאן "לפשט את המושג" ולהסביר זאת בדוגמא מהחיים…
תראו בצילום מסך שאציג בפניכם. אין צורך להיבהל מהנוסחאות…אסביר הכול שלב אחרי שלב...
אדם שהלווה לחברו שקל אחד בתנאי ריבית שנתית של 100%.
בתום התקופה הלווה יחזיר 2 שקלים למלווה.
הנוסחה לכך - 2 = (100/100) + 1
שזה כמו לומר ולחשב בעצם- 2 = 2 * 1
וכעת, מה יקרה אם המלווה יאמר ללווה - תחזיר לי ריבית של 50% בתום חצי הראשונה ועוד 50% בתום חצי שנה השנייה.
מה יהיה כעת הסכום הכולל של ההחזר?
אז על החצי שנה ההחזר יהיה 1.5 = 0.5 + 1
ועל החצי שנה השנייה ההחזר יהיה 0.75
ואם נצרף יחד את שני הסכומים נקבל 2.25
וזה כבר הרבה יותר הגיוני…
כי יש כאן "צמיחה קבועה" של הריבית. והחוב לא הופך כמו בדוגמא הראשונה מ1 ל2 "בבום".
אבל רגע…אולי יהיה יותר הגיוני לחלק את השנה ל4 חלקים…או ל12 חלקים…
ואולי נחלק את השנה למספר ימיה, כלומר 365
ואם נרחיק לכת יותר- אולי נחלק את השנה למספר השעות שבה…או למספר הדקות שבה…או למספר השניות שבה…
בלבלתי אתכם קצת? לא נורא…
בצילום מסך הנ"ל קיימת נוסחה של אוילר בדיוק לכל השאלות ששאלתי כאן…
הנוסחה הזו גאונית ורבת עוצמה. לא תאמינו כמה שהיא עוצמתית ונפלאה!
מה שיש לשנות ולהציב בה בכל פעם זה בחלק "המכנה" של השבר. וכן "במעריך" החזקה מחוץ לסוגריים.
סימן הפלוס מורה על תוספת על 1 שהוא המקור.
בשורה 1 החלוקה היא לחלק אחד והתוצאה 2
בשורה 2 החלוקה היא ל2 חלקים והתוצאה 2.25
בשורה 3 החלוקה היא ל4 חלקים והתוצאה 2.44
בשורה 4 החלוקה היא ל100 חלקים והתוצאה 2.704
בשורה 5 החלוקה היא למיליון חלקים והתוצאה 2.718
בואו נעצור לרגע ונתבונן…אנו רואים שהן בשורה 4 והן בשורה 5 התוצאה מתחילה ב2.7 והשוני רק בהמשך…
למה אין כאן איזה עליה משמעותית יותר?
מיליון הוא מכפלה של 100 כפול 10000!!!
אולי הייתה כאן איזה תקלה??? מה אתם אומרים?
בואו ננסה להמשיך עוד צעד…
בשורה 6 החלוקה היא ל-טריליון (השם על פי השיטה "האמריקאית", על פי השיטה "האירופית" מספר זה מכונה -ביליון) חלקים (12 אפסים)!!!
והתוצאה -2.718281828
עדיין התוצאות "נתקעו" ב 2.7 וכו'.......?
כן!!!
עכשיו תשמעו משהו מעניין…
לאונרד אוילר, שהגה את הנוסחה הזו שאל את עצמו, מה יקרה שהחלוקה תהיה א-י-ן ס-ו-פ-י-ת ???
והתשובה היא- שגם אז התוצאה תהיה "תקועה" על 2.7 ועוד…הרבה...ספרות…אחרי…הנקודה…
הנה סדרת המספרים החלקית ביותר, הידועה והנפוצה.(כזכור, בלינק לעיל תוכלו לגלות חישוב של 5 מיליון ספרות אחרי הנקודה עשרונית…וזה לא הסוף! עוד היד נטויה…)
כאשר האות n באנגלית מייצגת -את מספר החלוקות (בשוני הוא הן במכנה והן במעריך החזקה כאמור לעיל).
והסימון ∞ ("שמונה שוכב") בנוסחת אוילר- מייצג את האין סוף.
כאגב מכל הנ"ל ראינו את כוחו של חישוב "ריבית דריבית". זהו אפקט אדיר ועוצמתי!
הבסיס והפילוסופיה בכל הכוח והאפקט הזה טמון בנוסחת אוילר המכונה "קבוע אוילר" = e
הפיזיקאי הגרמני-יהודי אלברט איינשטיין (מגדולי הפיזיקאים בכל הזמנים) אמר פעם:
"ריבית דריבית היא הפלא השמיני בתבל"
הוא אף הוסיף: "מי שמבין זאת, מרוויח. מי שלא- משלם."
בואו נתקדם לעוד שלב נוסף…
עד כה הדגמתי סיטואציה של ריבית דריבית שנוספה על סכום המקור.
ומה יקרה במקרה הפוך? כלומר שאנו נפחית שיעור ריבית כפי מספר החלקים בתוך תקופת ההלוואה?
החידוש המעניין הוא שקבוע אוילר תקף גם במקרה כזה.
רק שנצטרך לזכור את השינוי קטן-גדול שיש לבצע במקרה כזה.
השינוי הוא להפוך את סימן הפלוס לאחר 1 בתוך הסוגריים לסימון מינוס- כלומר פעולת חיסור.
אם תציבו זאת במחשבון יצא לכם התוצאה 0.3678794412
(זו התוצאה בחלוקה לטריליון חלקים אפרופו הנ"ל, אותה ניסיתי בעצמי. הערך המדויק הוא בחלוקה ב-n כלומר אין סופי)
בגיליון המצורף (להלן בלינק) סיכמתי את נוסחת אוילר באקסל/גוגל שיטס.
שימו לב לנוסחה של אוילר בסימון "צמיחה" או "דעיכה".
בעמודה B החישוב בסוגריים הוא בסימון פלוס.
ובעמודה D החישוב בסוגריים בסימון מינוס.
אזכיר, כי האופרטור ∧ מסמל את "המעריך" בחזקה.
החישוב בגיליון זה עד שורה 1000, זו סימולציה בלבד "לשבר את האוזן"...
אתם מבינים לבד שלא יכולתי להוסיף עוד כמות שורות אסטרונומיות…ובטח ובטח שלא אין סוף שורות…
מצורפת לפניכם הנוסחה בתא D10 (מהגיליון הנ"ל המצורף)
קוד:
=(1-(1/A10))^A10התוצאה היא -0.3486784401
תזכרו את המספר הזה! עוד אשוב אליו…
נהניתם עד כה מהחכמה, מהלוגיקה, ומהגאונות?
יופי…זה בדיוק הזמן לחלק העיקרי בכל מאמר זה…
בתחילתו של מאמר זה הסברתי את דברי רבי בסוגיית התלמוד בבלי על החלוקת נכסים בין 10 הבנות שנישאו בזה אחר זה ולבן היורש והדגמתי זאת לפניכם באמצעות נוסחאות שניתן לבצע באקסל/שיטס.
כמו כן, חישבנו יחד באמצעות נוסחאות את חלק "הציבחר" עליו דיבר התלמוד ירושלמי…
רבותיי. בואו אגלה לכם בקול (ולא בשקט) שכל הדרך הנ"ל היא אמנם מדויקת ונכונה, אך היא הדרך הארוכה.
אחרי שלמדנו יחד את הנוסחה של "קבוע אוילר" הדרך לחישוב היא קצרה בעשרת מונים…
תראו את הצילום מסך להלן (מתוך הגיליון המצורף להלן בלינק)
בתא C24 מסוכם כמה יהא שיעורו של הבן בנכסים לאחר הפחתת כל הנכסים שנטלו 10 הבנות.
קוד:
=((1-(1/10))^10)*100התבוננו שוב בנוסחה של "קבוע אוילר"...
זו בדיוק אותה הנוסחה(כמובן שכאן סימון החיבור הוחלף בסימון מינוס, וערך ה n הוא 10).
וואו. זה פשוט נפלא וגאוני! לא יאומן!
בתא C26 מסוכם באחוזים מתוך השלם כמה הבן נוטל מהשלם…
קוד:
=C24/100זו התוצאה -0.3486784401
לסיום:
א. תערכו ניסוי. קחו דף ועיפרון ונסו לחשב לבד את סוגיית "עישורייתא דבי רבי",
כלומר מהו שיעור הנכסים שכל בת נוטלת (כולל כמובן הספרות לאחר נקודה עשרונית) וכמה הבן היורש נוטל…
לנו- זו משימה לא אפשרית…בואו נודה על כך…
אם תערכו את החישוב בדרך הארוכה בעזרת מחשבון casio .זה יהיה קשה אך אפשרי…
ואם תערכו את החישוב בדרך הארוכה בעזרת האקסל, זה אפשרי…נכון!
ומה יקרה שנערוך את החישוב בעזרת נוסחת אוילר?
וואו זה כל כך פשוט, קל ונוח…פשוט פנטסטי!
רבותיי. אי אפשר שלא להתפעל מעומק ורוחב ידיעת רבותינו ז"ל.
בתלמוד ירושלמי שנכתב כ 1300 שנים קודם ללידתו של אוילר (להבדיל…),כתוב ערך בקירוב של מספר אוילר -e. כל זאת ללא מחשבוני casio וללא תוכנת אקסל !!!
זו עוד הוכחה רבתי לאמיתתה של "תורה שבעל פה"!!!
מה עמקו מחשבותם ועומק שכלם של רבותינו ז"ל…נורא נוראות!!!
"הפוך בה והפוך בה- דכולא בה" (מסכת אבות ה. כ"ב)
ב. למרות שמכל הנ"ל אין שום ספק בכלל שחז"ל היו בקיאים ויודעים בחוכמת הגיאומטריה והחשבון. ראוי לזכור את דברי רבינו הרמב"ם (שו"ת פאר הדור סימן מ"א) "והקל יודע, כי לא נלקחו מתחילה (הרמב"ם מדבר על כלל החכמות) אלא להיותן לה (דהיינו לתורה הקדושה) לרוקחות ולטבחות (טבחיות) ולאופות, להראות העמים והשרים את יופייה" (של התורה…)
התורה היא עיקר חיינו. ועיקר תכלית האדם. ובה קיום כל העולמות כידוע.
"כי הם חיינו ואורך ימינו, ובהם נהגה יומם ולילה" (מתוך ברכת "אהבת עולם")
לינק לגיליון שיטס הכולל את החישובים בסוגיית "עישורייתא דבי רבי" ולהבדיל נוסחת אוילר -מצורף כאן
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 12 ▪︎ על הקשר בין מצוות ביקור חולים ופסיעה גסה ▪︎ ועוד כמה מילים על פונקציות EXP & LN ▪︎ מאמר המשך
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 10 ▪︎ כך תחשבו גימטריה קטנה באקסל/גוגל שיטס ▪︎ מִנִּפְלְאוֹתֶיהָ של פונקציית MID ▪︎ מסע מרתק לרמזי הספרות 6/8/9 ביהדות...
